A Natureza dos Números

Mr. Enigma escreveu:
apesar da teoria dos conjuntos ser satisfeita (acredito) por estruturas onde é o caso de E ser transitivo.

Não entendi isso. A teoria de conjuntos gera naturalmente conjuntos não-transitivos. Evidentemente, a teoria de conjuntos tem modelos transitivos, mas isso tem um outro significado.

Evidentemente, a teoria de conjuntos tem modelos transitivos...

Se tiver modelos, é claro.

Pior que é verdade. Ignore o comentário, realmente ZF não tem modelos assim.

O objeto matemático é de natureza mental, só existe em nossa mente e só pode ser pensado. Por outro lado, a representação matemática ou os símbolos matemáticos são de natureza material, existem no mundo a nossa volta e podem ser percebidos pelos sentidos. Os principais tipos de representações ou símbolos são a fala e a escrita. Por exemplo, a fala “um” e a escrita “1” são representações ou símbolos de um objeto matemático que está em nossa mente.

Obs: A palavra “símbolo” significa algo sensível que substitui outro algo 1) que está ausente aos sentidos ou 2) que é imperceptível diretamente. A palavra “representação”, que é sinônima de “simbolização”, significa a apresentação de um símbolo. Como veremos depois, um símbolo é uma lembrança e representar é memorizar.

Limitemo-nos a tratar de como funciona a representação ou a simbolização escrita da matemática. A representação escrita funciona como uma memorização sensível (externa) dos objetos matemáticos. Tem o objetivo de desocupar a memória mental (interior) para que a mente se ocupe apenas em operar sobre os objetos matemáticos. Os objetos matemáticos, por sua natureza mental, não podem ser percebidos pelos sentidos, o que dificulta o seu manuseio. É difícil para a mente operar sobre, e ao mesmo tempo memorizar, objetos que são em si mesmos mentais e não sensíveis. A natureza dos objetos matemáticos demanda uma memorização externa dos mesmos, para facilitar o trabalho mental e tornar a memorização mais sensível.

A memória está presente em todos os atos mentais. Na concepção de um conjunto qualquer, a memória vai segurando os elementos já concebidos deste conjunto e no final apresenta todos os elementos para que a mente, num só golpe, conceba o conjunto. Neste caso, esta memória de curto prazo deve se dedicar ao trabalho de concepção de um conjunto num dado momento, não podendo armazenar outros conjuntos concebidos anteriormente. Por isso estes outros conjuntos já concebidos devem ser arquivados exteriormente, digo, devem ser eliminados da mente e representados por escrito. Então, na atividade matemática, a memória mental funciona como memória de trabalho, enquanto que a representação matemática funciona como uma memorização mais permanente.

Por exemplo, o ato de resolver a equação 7x – 10 = 3x – 2:

1º) Passamos o 10 para o outro lado adicionando e o 3x para o outro lado subtraindo. Mas para não termos que memorizar na mente os resultados destas operações ao mesmo tempo em que prosseguimos com a resolução da equação, nós memorizamos estes resultados por escrito, ou seja, representamos por escrito estes resultados que estão em nossa mente assim: 7x – 3x = 10 – 2.

2º) Efetuamos 7x – 3x = 4x e 10 – 2 = 8. Novamente, para não termos que memorizar na mente os resultados destas operações ao mesmo tempo em que prosseguimos com a resolução da equação, nós representamos por escrito estes resultados que estão em nossa mente assim: 4x = 8.

3º) Passamos o 4 para o outro lado dividindo. Novamente, para não termos que memorizar na mente este resultado ao mesmo tempo em que prosseguimos com a resolução da equação, nós representamos por escrito este resultado que está em nossa mente assim: x = 8/4.

4º) Efetuamos 8 ÷ 4 = 2. Novamente, para não termos que memorizar na mente este resultado ao mesmo tempo em nos ocupemos com outra coisa, nós representamos por escrito este resultado que está em nossa mente assim: x = 2.

Imagine se abríssemos mão da representação escrita para resolvermos esta equação! Certamente seria muito mais dificultoso ter que operar e memorizar na mente ao mesmo tempo. Quanto maior o grau de dificuldade da atividade matemática, maior a necessidade de representação escrita. Não é necessário representar por escrito a operação 1 + 1 para obtermos o resultado 2, bastando o trabalho com os objetos matemáticos na mente, que neste caso são duas unidades independentes e a operação de adição. Para muitas pessoas a equação anterior também pode ser resolvida apenas mentalmente sem a representação escrita. Mas é impossível trabalhar em atividades matemáticas mais avançadas sem a representação escrita, por conta da limitação da mente em operar e memorizar ao mesmo tempo.

Infinito escreveu:O objeto matemático é de natureza mental, só existe em nossa mente e só pode ser pensado.

Como assim existe na nossa mente? Ele existe na minha mente, na sua mente e de todos que pensam atualmente nele?

Como você sabe que o que existe na minha mente é igual ao que existe na sua mente?

Se deixamos de pensar, todos simultaneamente, no objeto matemático, ele deixa de existir?
O teorema de Pitágoras só é verdadeiro quando pensamos nele?

Digo que os objetos matemáticos são de natureza mental, são ideias.

Não desenvolvi bem esta teoria, mas creio que a teoria de Platão está correta. Talvez exista uma mente universal onde os objetos matemáticos existam independentes de todas as mentes particulares.

Creio que não precisamos pensar nos objetos matemáticos para que eles existam, mas eles se atualizam como ideias em nossa mente.

Ou talvez um objeto matemático não exista se ninguém pensar nele.

O que digo é que os objetos matemáticos são ideias, elementos da mente, ao invés de coisas sensíveis perceptíveis pelos sentidos. O que é sensível é apenas o símbolo matemático impresso no papel.

É, acho melhor você desenvolver então melhor essa teoria...ideias possuem portadores, e cada um tem a sua, elas são de natureza subjetiva, enquanto a matemática parece ser, pelo menos em princípio, objetiva.

Cada um tem a sua ideia, mas não falo das ideias de cada um. Por exemplo, números são, segundo o que digo, ideias. Mas não são ideias que pertencem a alguém. Os números não são ideias minhas ou de alguém. Por isso digo que parece existir um mundo de ideias independentes das mentes, como disse Platão.

Por exemplo, o número um existe independentemente de eu o pensá-lo exatamente como penso e de você o pensar exatamente como você pensa, que é diferente do meu jeito. Cada um tem sua mente e suas ideias. Não ocorre de haver sinapses idênticas em dois cérebros distintos ou mesmo num mesmo cérebro. Assim como não ocorre de duas pessoas pensarem o número um de forma idêntica. Mas como então duas pessoas podem se comunicar e se referirem a um mesmo objeto? Como pode você saber o que eu digo quando menciono o número um, visto você não conceber este número exatamente como eu? Mais uma vez isso me leva a crer que os objetos matemáticos, apesar de se atualizarem de um jeito particular em cada mente, devem possuir uma essência comum independente das mentes. Isso me leva a concluir que os objetos matemáticos existem como ideias independentes num mundo pré-existente, e eles adquirem existência particulares imperfeitas nas mentes das pessoas...

Podemos pensar nos conjuntos numéricos...

Os naturais são aqueles que podem ser postos em correspondência com objetos para que possamos contá-los.
Os inteiros com inclusão do negativo pode se referir ao mundo das trocas, como trocas de moedas onde o número negativo representaria um valor de dívida.
Os racionais surgiram quando se percebeu que um objeto pode ser dividido em partes; surgiram a partir dos números fracionários
Os irracionais surgiram para resolver problemas de medidas geométricas que não teriam medidas dos conjuntos numéricos conhecidos.
A união destes conjuntos nos fornece um conjunto mais amplo que podemos definir como reais. A ideia é posta em correspondência com o meio. Depois de tudo isso surgiram os complexos que parecem à primeira vista serem algo tão somente imaginário e que é apenas uma criação da mente sem correspondência alguma com objetos reais, mas se fizermos estudos aprofundados podemos fazer corresponder estes números com um plano, por exemplo, e conseguimos construir uma correspondência deste conjunto criado pela mente com algo concreto, real!

Bom, mas o que nos levaria a definir que N pode ser subconjunto de Z e que Z subconjunto de Q e etc...? Apenas criação da mente? Aí que entra a pergunta.

Teria a geometria uma influência nisto?

Ou não?

Não sei se vão concordar comigo (em todo caso...)...

A matemática é uma linguagem capaz de explicar fenômenos, sejam de natureza da Terra, seja de natureza fora da Terra. É uma linguagem formalizada no intuito de comparar quantidades, medidas, descrever objetos, descrever fenômenos (aqui entra a física, mas a linguagem que o físico usa é a linguagem matemática). Quando alguém define a área de um quadrado este alguém define a característica do objeto de tal forma que possa ser transmitido em forma de linguagem para outras pessoas. Melhor dizendo, a característica do objeto é assimilada pela mente que transforma em forma de linguagem. Uma equação ou inequação relaciona dois lados em equilíbrio ou desequilíbrio tal qual balanças de dois pratos que representam igualdades ou desigualdades entre pesos (consequentemente massas-característica do objeto) entre dois objetos. Na análise combinatória ou contagem simples, por exemplo, temos a relação de objetos em posições diferentes.
Como o colega acima falou, previamente já existia uma "entidade" matemática. O que fizemos foi apenas corresponder a ideia a esta "entidade". Como se pudéssemos pegar uma flechinha da ideia e levar até a entidade (ou ao contrário). Uma forma grosseira de se pensar, mas toda ideia começa de forma bruta e temos que lapidá-la.

Penso eu que antes de pensarmos na matemática formal devemos pensar e refletir sobre a etnomatemática.

Alguns grupos que criam sua própria linguagem matemática. Podemos comparar a linguagem como inglês e português por exemplo. Podemos pensar que são línguas diferentes, mas uma pessoa pode transmitir a outra exatamente a mesma coisa usando as duas línguas. Ou seja, são usados simbologias, fonemas diferentes mas que descrevem coisas, fatos e no mundo coisas e fatos são semelhantes em todo o lugar. Se bem podemos ter coisas e acontecimentos diferentes em lugares diferentes não impede de que qualquer outra língua seja capaz de descrever. Embora estejamos em uma época que a matemática tenha se isolado do mundo real (ao contrário de antigamente que era usada justamente para o mundo real) para ser estudada separadamente ela sempre pode ter uma correspondência com este. Por mais que tenhamos uma formalização universal, nada impede que ela pudesse ter sido desenvolvida com outros símbolos, alguma outra forma de raciocínio, mas não fugiria do objetivo final dela. O que não pode acontecer no nosso estudo matemático é gerar contradições, senão perderia seu sentido lógico. Mas aí que está: por causa do mundo real (o meio a nossa volta) construímos as primeiras teorias matemáticas. Ela não parece ter esta independência toda que quer ostentar a nós não.

Seria o abstrato nada mais que uma projeção da realidade?