A Natureza dos Números

Inicialmente, números eram apenas adjetivos que caracterizavam conjuntos. Assim como “quadrado”, “círculo” e “triângulo” inicialmente eram só adjetivos que caracterizavam formas físicas.

Mas, com o tempo, esses adjetivos se tornaram substantivos abstratos.

Dado um adjetivo X, um substantivo abstrato X é um objeto fictício (ou hipotético) ao qual atribuímos unicamente o adjetivo X, e mais nenhum outro predicado. Por exemplo: o Dois da Matemática é um objeto abstrato que só atribuímos o adjetivo “ter dois elementos”, o Círculo da Geometria é um objeto imaginário em que só imaginamos a qualidade de “ter todos os pontos equidistantes do seu centro”.

Como não supomos nenhum outro atributo para um substantivo abstrato, além do seu adjetivo, os teoremas que demonstramos acerca dele podem ser generalizados para qualquer coisa que possua essa qualidade. (Isso se chama inferência por generalização, em lógica). Ou seja: Teoremas sobre Triângulos ideais são válidos para qualquer objeto material de forma razoavelmente triangular, assim como teoremas sobre Dois e sobre o Três ideais são válidos para quaisquer conjuntos disjuntos reais com dois e três elementos.

Essa explicação é um meio termo entre o realismo e o subjetivismo. Pois esclarece o fantástico poder de previsão que a matemática tem sobre o mundo real (um poder que nos permite maravilhas como erguer edificações colossais e enviar foguetes para a lua). E, ao mesmo tempo, explica isso sem precisar apelar para um realismo ingênuo, supondo que os objetos matemáticos são entidades extra-físicas que vivem no Além, em um céu platônico ininteligível, perfeitas e imutáveis, como pensava Godel. Essa explicação usa apenas o bom senso.

O que acham?

Interessante!

Mr. Enigma escreveu:
o Dois da Matemática é um objeto abstrato que só atribuímos o adjetivo “ter dois elementos”

Quais dois elementos? Elementos abstratos também? Como eles se diferenciam entre si para serem, justamente, dois e não apenas um?

Amigo, a sentença: “Existe um x e existe um y =/= x tais que x e y pertencem a Dois e, para todo z, se z pertence a Dois, então, z = x ou z = y” atribui dois elementos ao conjunto Dois, sem, no entanto, discriminá-los.

Mas você teria que definir antes a diferença...

E a igualdade também...

Além disso... dois seria um conjunto? Então você está pressupondo uma teoria dos conjuntos? Qual? Teoria dos tipos? Z-F?

Sim, mas aí precisaríamos de um axioma do infinito para garantir que não são conceitos vazios...

Fazer que nem o Dedekind não vale: eu penso, penso que penso, penso que penso que penso, etc... rs

Mr. Enigma escreveu:E, ao mesmo tempo, explica isso sem precisar apelar para um realismo ingênuo, supondo que os objetos matemáticos são entidades extra-físicas que vivem no Além, em um céu platônico ininteligível, perfeitas e imutáveis, como pensava Godel.

Sobre isso, estive lendo o livro "O homem que confundiu sua mulher com o chapéu", do neurologista Oliver Sacks, onde, em um dos últimos capítulos, ele cita o caso de dois irmãos gêmeos autistas.

Eles, como boa parte dos autistas, eram "bons" com números. Sabiam que dia da semana caía numa data qualquer num futuro ou passado muito distante.
Mas eles não sabiam somar 2 + 2.

Resumindo (se puder ler o capítulo do dito livro, será mais interessante e mais claro do que estou dizendo):

Os tais gêmeos não faziam, a princípio, nenhuma operação matemática cerebral. Eles simplesmente, de alguma forma, enxergavam somente números primos.

Como algumas pessoas que sofrem de sinestesia, e enxergam toda letra A da cor azul e toda letra B da cor vermelha, esses gêmeos, todas as vezes que eram colocados diante de um número primo, de 6, 8 ou 10 dígitos, eles reconheciam quase que imediatamente, pois os números primos eram visíveis para eles de um modo que a gente não entende.

Isso não é argumento contra qualquer outra tese. Mas imediatamente depois que li este capítulo, pensei:
- É... parece que os platonistas em relação aos números podem estar certos.

Talvez esse realismo de Gödel não seja um realismo tão ingênuo assim...

Na verdade, não estou propondo construir mais uma fundamentação para a matemática baseada em pura lógica ou qualquer outra coisa. Estou feliz com ZF e similares.

Penso apenas que não é necessário assumir uma filosofia radicalmente realista em relação a ZF. Pois considerações lógicas, como as que citei, já demostram como a matemática consegue fazer previsões sobre o mundo real, mesmo versando sobre entidades puramente hipotéticas.

(O fundamento discutido, assim, é mais filosófico do que formal).

A matemática não precisa de fundamentações.

Você está feliz com ZF? Mesmo que isto possa gerar (junto com o Axioma da Escolha), o paradoxo de Banach-Tarski?

Bom, particularmente não acho contra-intuitivo que um objeto de infinitos pontos possa dar origem a dois ou mais de mesmo tamanho, justamente por ter infinitos pontos.

Mas mesmo considerando que há um paradoxo, esferas de infinitos pontos não existem na realidade, apenas no plano da teorização geométrica.

Ou seja, do ponto de vista que defendi no primeiro post, não faz muito sentido discutir se o axioma da escolha ou a hipótese de contínuo são “verdadeiras”. Provavelmente são “vacuamente verdadeiras” em relação ao nosso universo de coisas finitas. No máximo, faz sentido discutir se são axiomas úteis para axiomatizarmos a matemática de um modo sucinto, elegante e consistente.

Claro, podem existir axiomatizações muito melhores (seja lá qual for o critério de “melhor”) do que ZF, de fato.

Porém, os detalhes da axiomatização da matemática perdem um pouco a importância, assumindo uma filosofia não-realista para interpretação dessas axiomatizações.

Banach-Tarski não é um paradoxo (contradição), é um teorema. Existe um monte de outras consequências estranhas do axioma da escolha, como a boa ordem dos reais. Não só a Matemática, mas a própria lógica tem resultados esquisitos à primeira vista, como Löwenheim-Skolem (como uma teoria que prova a existência de conjuntos não-enumeráveis pode ter um modelo enumerável? -- "paradoxo" de Skolem).

A Matemática não tem que cumprir requisitos psicológicos acerca do que é bonito ou legal.

Geômetra, pode ser que você encare a palavra paradoxo como "contradição", mas eu utilizei a palavra justamente no sentido de para-doxo, isto é, aquilo que está ao lado da doxa, da opinião comum, aquilo que é estranho, bizarro à primeira vista...

Geômetra escreveu:A Matemática não tem que cumprir requisitos psicológicos acerca do que é bonito ou legal.

Concordo, mas parece-me que os axiomas da matemática precisam ser verdadeiros (expressar um pensamento - Gedanke, no sentido de Frege - verdadeiro), para que ela seja considerada uma ciência e não somente um jogo, como o xadrês, etc...

Atomic Boy escreveu:pode ser que você encare a palavra paradoxo como "contradição"

Quanto a isso, sigo o vocabulário lógico padrão: paradoxo de Russell, paradoxo de Burali-Forti, paradoxo de Cantor etc.

Obviamente, você é livre para empregar a palavra em seu sentido etimológico, desde que isso fique claro (usei parênteses na mensagem anterior a fim de dissipar qualquer tipo de dúvida).

Concordo. Pois segundo os grandes filósofos a matéria é uma coleção de ideias, nada existe de real a não ser as mentes e suas ideias.

Sempre que queremos provar que algo existe temos que partir do imaterial, ou seja, o principio das ideias. Se quero provar algum axioma por exemplo parto do princípio de que ele possa existir, possa ser verdadeiro ou falso. No qual para ambos os casos tenho que demonstrar e provar sua existência partindo da imaterialidade.

kbr escreveu:A matemática não precisa de fundamentações.

Desculpe-me, mas toda ciência precisa de uma fundamentação ou deixará de ser ciência.
Achei sua ideia totalmente absurda.

Hermes Trismegistus escreveu:Pois segundo os grandes filósofos a matéria é uma coleção de ideias

Isso que é desconhecer a história da filosofia...

"Segundo os grandes filósofos, a água é feita de terra."

Meu caro, não só os naturais, mas quase todos os objetos matemáticos (números inteiros, racionais, reais, conjuntos, figuras geométricas, funções etc) são representações simplificadas de objetos reais complexos (coleções, réguas, processos físico etc.).

Nesse sentido, a matemática é útil por que:

teoremas simples sobre representações abstratas são facilmente traduzíveis em conclusões complexas sobre as coisas representadas.

Se interpretados literalmente, esses teoremas são falsos, na medida que supõe objetos inexistentes. Porém, suas transposições práticas são verdadeiras, na medida que a representação matemática seja adequada aos objetos reais representados.

Há algumas representações que, por não corresponderem a objetos reais (ex.: cardinais transfinitos) figuram em sentenças indecidíveis (como a hipótese do contínuo).

Mas mesmo essas representações são úteis para indiretamente simplificar e acelerar o processo de cálculo e dedução matemática como um todo.

Não estou afirmando que “Números” são “conceitos de segunda-ordem” que necessitam do axioma do infinito. Pois isso seria postular outros seres metafísicos. Ou seja: seria apenas transferir o problema de lugar.

O que estou afirmando é: números (e outros objetos matemáticos) são apenas representações neuronais simplificadas de objetos reais. E por isso são bons preditores de eventos reais. Não quero que recriem os fundamentos formais da matemática.

Quero apenas explicar cientificamente (ao invés de metafisicamente) por que a matemática faz boas previsões sobre o mundo real.

Ao afirmar que o número é uma representação simplificada de uma coleção, você cai nas velhas críticas de Frege com relação aos que acreditam que o número é um agregado...