Geometria x Realidade

Vocês já pensaram como a geometria, apesar de às vezes ser bem intuitiva, ela na verdade é somente constituída de funções e noções de espaço vetorial, e seus objetos não existem fora da idealização.
Por exemplo, retas, planos, círculos, triângulos, etc...não são objetos da realidade.
Concordam? Discordam? Comentem....

Ah... e “que não entre aqui quem não saiba geometria”... rsrs

Não apenas a geometria, mas toda a matemática fala sobre coisas que não existem no mundo real, como o número 3, o conjunto dos reais etc. Eu acredito que as teorias matemáticas são como aqueles ''mitos'' que explicavam a natureza, e as entidades matemáticas são como os ''deuses'' desses mitos. A principal diferença é que a ''mitologia matemática'' faz mais previsões úteis e não-triviais do que a mitologia grega, nórdica, africana etc...

Sendo mais objetivo, pra mim a matemática é só uma idealização.

Tem a ver com a realidade no sentido de que a aritmética é como um ábaco imaginário com o qual podemos fazer qualquer conta mentalmente de forma análoga com que calcularíamos fisicamente em um ábaco concreto.

Explico:

O que quis dizer com a metáfora foi o seguinte. Imagine uma teoria descrevendo um ábaco. Poderíamos, assim, usar deduções dessa teoria para extrapolar conclusões quantitativas sobre operações com conjuntos cotidianos, como a soma de dois rebanhos de gado etc., tal como se consegue fazer com um ábaco físico. Isso ocorre por que em lógica há muitos teoremas envolvendo quantidades, e esses teoremas continuam válidos mesmo trocando-se por outros os seus símbolos de predicado e de constante. Não é necessário supor um ábaco existente num plano transcendental para explicar o poder preditivo dessa teoria. Nesse sentido, a aritmética, pra mim, está numa situação análoga. Evidentemente, ZF não descreve um ''ábaco''; porém descreve uma estrutura abstrata funcionalmente igual. Cada número natural é só o exemplo de um conjunto com a mesma quantidade de elementos que lhe dá nome, da mesma forma que no ábaco (que é uma extensão do ato de contar nos dedos) cada posição digital (unidades, dezenas...) possui a quantidade de bolinhas equivalente ao número que ela contabiliza. Em suma, não é necessário supor que os números existam num plano imperceptível para entender por que as teorias matemáticas funcionam. Penso que as certezas humanas sobre quantidades são condizentes com a experiência no mesmo sentido que as crenças nas verdades lógicas o são.

Ou seja, símbolos totalmente desligados da sua aplicação na experiência não é matemática.

Bom, normalmente não se considera a matemática uma ciência como a física ou química.

As relações quantitativas já são deduzídas pela lógica sozinha. Os naturais em ZF, 1, 2, 3 etc., são apenas exemplos de conjuntos com a mesma quantidade que os nomeia, e é por isso que podem ser usados como referência para deduzir relações quantitativas em quaisquer outros conjuntos do cotidiano. Assim, não é necessário supor que os números existam na realidade para explicar o poder preditivo deles. O poder dos sistemas de numeração se apoia em algo semelhante, e eles surgiram apenas para acelerar o processo de cálculo. Assim, eu acho que minha opinião está mais para uma mistura de logicismo e intuicionismo do que instrumentalismo.

Se pontos não têm dimensão, se linhas, superfícies, corpos, etc, têm dimensão e se estes são compostos de pontos, como pode o que não tem dimensão compor o que tem?

Como você define "compor"? Está falando visualizando geometricamente? Pois é comum você trocar a noção de ponto por número real, linha por conjunto de números reais que é solução de uma equação linear, e por aí vai. No fim das contas, essas noções são primitivas, e você pode chamar "ponto" de "mesa de jantar" e a partir dos axiomas gerar os mesmos teoremas.

Um segmento de reta tem direção e um ponto até onde eu sei não tem direção.
Eu acho que o ponto pode ser definido sim, talvez tenha até mais de uma definição dependendo da área da matemática que está tratando.

Mas não seria o ponto uma parte dele mesmo?

Pontos não tem extensão?

Linhas, superfícies e corpos são formados de infinitos pontos? Possuem extensão?

Se sim, como o que não possui extensão pode formar algo extenso?

O conceito de "extensão" em matemática é um trem totalmente diferente da ideia de "extensão" física ou empírica.

Pontos matemáticos não possuem extensão. Mas na verdade, não se sabe se a matéria física é infinitamente divisível ou não. Não haveria contradição lógica se assim o fosse.

Aliás, como bem mostra sua pergunta, a ideia da matéria física ser infinitamente divisível está em contradição beeemmm menor com o senso comum do que a alternativa oposta, embora à primeira vista pareça o inverso.

Infinito, se você estiver falando dos entes matemáticos chamados pontos então a resposta é não; eles não têm extensão. Está lá, na 1ª Definição do Livro I dos Elementos: "Ponto é aquilo de que nada é parte." Entretanto, a dúvida que você parece estar tendo não é injustificada; Aristóteles e Platão também tiveram alguns problemas do tipo quando buscaram explicar a multiplicidade à expensas do Uno.

Infinito escreveu:Se sim, como o que não possui extensão pode formar algo extenso?

Eu lembro que no Teeteto, na parte do "sonho de Sócrates", a pergunta era mutatis mutandis a mesma... como é que a união de coisas simples pode formar uma coisa complexa? A solução que Teeteto tem que aceitar é que o complexo não é apenas um agregado de coisas simples, mas sua complexidade deriva da característica única obtida pela reunião das coisas simples (essa solução também será criticada por Sócrates, mas isso não vem ao caso aqui)...

Aqui é o mesmo.... acredito que não dá pra pensar na reta como um agregado de pontos (extensionalmente)...

Hoje está muito difundida uma visão de que a reta real não pode ser pensada apenas como uma coleção infinita de pontos (Cf. e.g. um artigo de M. Dummett intitulado What is mathematics about?)...

No processo de medição obtemos uma medida. A palavra medida é sinônima das palavras "tamanho", "grandeza", "magnitude", "dimensão", "quantidade". Isto segundo a constituição destas palavras, como nos informa os dicionários.

No processo de contagem obtemos uma conta. No processo de cálculo e cômputo obtemos um número. E conta é sinônimo de número. Ou seja, nestes processos o resultado é um número. E nos processos de medição o resultado é um número e algo mais.

O número parece ser uma forma mais abstrata ou ideal (e portanto anterior) de grandeza (e seus sinônimos).

Minha dúvida é que percebo duas formas de grandezas distintas que formam pares, mas que eu não consigo visualizar racionalmente a diferença entre elas, não consigo obter uma definição para elas. Mas visualizo intuitivamente muito bem a diferença entre elas.

Exemplo de pares de grandezas: linha/comprimento; superfície/área; corpo/volume.

Que espécie de grandeza é cada uma das duas?

A linha têm comprimento. A superfície têm área. O corpo têm volume.

A medida da linha é um comprimento. A medida da superfície é uma área. A medida do corpo é um volume.

A medida de uma grandeza é um número associado à outra grandeza que faz par com a primeira. Isso reforça a ideia de o número ser uma forma absoluta de medida, de grandeza.

Seria a linha o ato e o comprimento a potência de uma mesma grandeza?

Seria a linha a superfície e o corpo "grandezas quantitativas" enquanto o comprimento, a área e o volume "grandezas qualitativas"?

Obs: uma “coisa” é para a cognição científica, antes de tudo, um “quantidade/grandeza”, segundo Kant. O “algo” é sinônimos de “coisa”.

Mas parece existir algo superior às grandezas (no sentido comum), que é número (grandeza pura), pois ele subordina as demais. Em todo processo de mensuração/medição/contagem/cálculo/cômputo de "algo" (o que?) obtemos um número. Tais processos se resumem ao de nome "numeração". Por exemplo: numerar uma linha, uma superfície, um corpo. Que significa obter um comprimento, uma área, um volume, coisas estas que são, cada qual, um número com uma qualidade? Ou seja: um comprimento “determinado” é um “número comprimento”? Se apenas falarmos em comprimento, sem relacioná-lo a “algo”, sem falar “o comprimento de algo”, temos apenas o comprimento como “coisa” universal, ou seja, como potência: “o comprimento”. Em ato seria, por exemplo, “3 unidades de medida de comprimento”.

Todas estas coisas não se distinguem essencialmente. Mas uma primeira distinção é possível: “número puro” (ou número puramente abstrato) e o “número puro/empírico” (ou número abstrato/empírico). Um objeto material (um limite de matéria) seria, aqui, um “número empírico” (ou um número puramente empírico), que é aquilo que é captado pelos sentidos (a sensação), pois tudo que chamamos de matéria exterior é antes de tudo algo que pensamos, e fizemos isso assim, não importando se a existência exterior da matéria é independente de nós.

Ainda segundo este discurso, o número puro seria, por exemplo, os inteiros, racionais, reais, etc. O número puro/empírico seria o que entendemos por grandeza/quantidade e seus sinônimos. Então, distinguindo número puro de número puro/empírico e descartando o número empírico (que é objeto da física), fiquemos com os dois primeiros tipos e tentemos uma distinção dentro da segunda classe (números puros/empíricos), ao mesmo tempo que não conseguimos abstrair o número puro da jogada, por impossibilidade nossa. Estas duas classes estão aqui fundidas:

1) a unidade de medida; 2) a “grandeza (1)” que possui uma unidade (ou que pode ser medida); 3) a “grandeza (2)” que é medida (a qual a grandeza (1) é atribuída); e 4) o número que fornece a nota absoluta deste processo único: a medição, ou seja, o número como a essência da medida (resultado da medição). Estes quatro aspectos coexistem fundidos. Qual a sua diferença?

Exemplo: 1) o metro; 2) o comprimento; 3) a linha; 4) 7,7.

Em essência, quando digo “uma linha tem medida de 7,7 metros de comprimento”:

- e se assumo a “grandeza” como termo mais universal, estou dizendo o mesmo que “uma grandeza tem grandeza de grandeza grandezas de grandeza”.

- e se assumo o “número” como termo mais universal, estou dizendo o mesmo que “um número tem número de número números de número”

Comparem:

- uma linha tem medida de 7,7 metros de comprimento;
- uma grandeza tem grandeza de grandeza grandezas de grandeza;
- um número tem número de número números de número.

Esse não é o velho problema dos universais?

Polígono

"Conjunto limitado de ângulos".

Ângulo é algo com uma ou duas dimensões? Possui superfície?

Conjunto de segmentos de reta:

Em um segmento de reta qualquer estão contidos dois pontos que constituem os dois limites de tal segmento de reta.

Quando um ponto-limite é comum a duas retas ou segmentos de retas, temos um ângulo?

Quando um conjunto limitado de segmentos de reta (e com mais de dois elementos-segmento de reta) estão dispostos de tal forma que todos os pontos-limite dos segmentos de reta sejam, cada um, comuns a dois segmentos de reta, temos uma linha reta poligonal fechada? Temos um polígono? Temos algo com uma ou duas dimensões?

A definição acima, para o objeto que lhe corresponde, está correta?

Um linha reta poligonal fechada é algo com uma ou duas dimensões? Um polígono é algo com uma ou duas dimensões?

Parece claro que uma coisa é apenas o conjunto que constitui o limite da outra, conjunto-limite este contido no conjunto que limita. Digo que o conjunto de segmentos de reta assim dispostos formam apenas o limite do polígono, estando, portanto, contido no polígono.

O problema é que em mais de um livro didático de ensino fundamental que analiso, apresentam o termo "polígono" ora se referindo apenas ao conjunto de segmentos de reta-limite (limite de uma possível superfície - ou seria limite do que?) e ora se referindo a uma superfície limitada por segmentos de reta.

Um limite limita algo, não pode limitar o nada. Se digo que uma linha reta poligonal fechada é o limite de um polígono, posso concebê-la sem ser o limite de algo? Pois se é o limite de algo, no caso, de algo que possui duas dimensões, pode ser esse limite unidimensional?

"Poligonal":

Parece que não pode ser concebido (o conjunto de segmentos de reta mencionado) como algo distinto do polígono, que é bidimensional. A partir do momento que a tal linha reta poligonal se fecha, não se torna automaticamente bidimensional? (ou já antes, na formação do primeiro ângulo?)

Mais dúvidas:

É a “linha” algo mais primitivo que “reta” e “curva”, sendo estas duas últimas coisas espécies da primeira? (Linha reta e linha curva)

“Linha reta poligonal fechada” ou “linha (que poderia ser curva?) poligonal fechada” é “uma linha”, ou um “conjunto de linhas” (no caso, cada linha sendo um segmento de reta, e todos eles relacionados segundo aquela condição mencionada)?

Ou seria a “reta” a própria propriedade essencial da linha?

“4. E linha reta é a que está posta por igual com os pontos sobre si mesma.” (Euclides)

Qual a diferença entre a “relação entre os pontos entre si de uma linha reta” e a “relação entre os pontos entre si da linha que constitui uma circunferência”?

Circunferência possui ângulo(s)? É “uma linha” ou um “conjunto de linhas”?

Geometria Não Euclidiana e a Intuição

Bom pessoal, o objetivo desse discurso é investir numa ideia que estou inclinado a acreditar: A de que a crença popularizada de que a geometria não euclidiana violou a percepção intuitiva de espaço é uma empulhação publicitária que foi difundida na medida que passamos a valorizar tudo que nos pareça revolucionário. Isto é resultado de uma patologia social que, acredito, prejudica a compreensão da atividade cognitiva das ciências ao estimular o hábito de pensar que tudo aquilo que não entendemos é porque no fundo é uma coisa incognoscível, só acessível a mentalidades abstratas fora de nosso alcance. Outro problema é que a percepção intuitiva é a base última dos fundamentos da ciência, pois é por meio dela que podemos observar, por exemplo, as medidas apresentadas pelo processo de medição, a reconhecer os objetos da experiência que nem sempre descrevemos de forma suficiente, portanto, revogar a percepção intuitiva é tornar o conhecimento científico impossível.

O Problema das Paralelas

Os livros sobre história da matemática que abordam os temas das definições euclidianas de geometria descrevem muitos esforços de matemáticos em tentar fazer o quinto axioma de Euclides ser dedutível a partir dos demais, provar o axioma das paralelas. A expectativa de que o quinto axioma possa ser provado, é que a propriedade de que uma reta seja paralela a outra, nas condições dadas, é uma consequência intuitivamente obrigatória desde que se parta de noções de pontos, retas e espaços como seus pressupostos admitidos. Como a propriedade em questão não é um pressuposto, e sim as noções de pontos, retas e espaços, é razoável que estes sejam conceitos primitivos que não se provam, mas que são a causa das propriedades das paralelas, e se é causa, como não pode haver uma prova?

Se não fosse assim, não haveriam matemáticos tentando provar a tal propriedade, ou seja, a expectativa de que a propriedade pudesse ser demonstrada é uma expectativa justificável.

E ai uma coisa estranha acontece: se uma expectativa de possibilidade é justificável intuitivamente, porque a tal possibilidade não corresponde a justificativa? É porque não podemos confiar na nossa intuição? A minha proposta de solução para este problema, é que a tal expectativa combina percepções intuitivas com hábitos de pensar que provém de pressupostos que em última análise: não se justificam intuitivamente. Como estes dois atos mentais aparecem de modo aparentemente inestricáveis, a expectativa de uma ideia acaba usurpando a intuitividade da outra. A sensação de que a propriedade das paralelas possa ser provada, acaba obscurecendo o modo como Euclides formulou a questão das paralelas, e acho que aí é que está o problema.

Acredito que a dificuldade tem origem em três problemas:

a) O uso de conceito necessário para definição da propriedade mas que não encontra descrição formalizada no texto de Euclides, como a de desenhar arcos com um compasso. Euclides não define o que são estes arcos em função dos conceitos primitivos ou sequer esclarece as propriedades que tem. Isso eliminaria um nexo necessário para vincular os objetos da demonstração. Esta ideia foi sugerida no livro "Os Fundamentos Axiomáticos da Ciência"

b) O uso do conceito de infinito para definir paralelas, um conceito cujos efeitos problemáticos só seriam esclarecidos com a Análise Matemática.

c) A falta de conceitos matemáticos que só foram concebidos depois, como o das coordenadas cartesianas para que se possa usar o conceito de distância entre dois pontos: d(p,q)

Uma maneira de verificar isso é reformular os conceitos geométricos de modo que os objetos matemáticos correspondam ao modo como intuitivamente os visamos. Uma heurística para que se possa expressar em conceitos matemáticos o que percebemos como intuitivo, é procurar descrever o nexo entre as propriedades ainda informalmente, até descobrirmos que vínculo entre os conceitos que correspondem essencialmente a demonstração do teorema, e depois disso procurar reescrever suas descrições até atingir as exigências do rigor matemático. Esta heurística eu tomei emprestado das técnicas de desenvolvimento de um programa de computador em refinamentos sucessivos.

Vamos começar com a definição de paralela.

Definição de Paralela

1- A reta R é paralela a reta S, se para todo ponto r pertencente a reta R, a menor distância para com a reta S for sempre constante.

O axioma diz que de uma reta dada e um ponto fora dela, apenas uma reta pode ser traçada neste ponto que seja paralela a reta dada.

A prova seria mostrar que qualquer outra reta que se traça a partir do ponto fora da reta que seja diferente da reta definida como paralela, teria que ter um coeficiente angular distinto (se não, não é outra reta), e que isso implicaria na existência de um outro ponto em R' cuja distância seria diferente do ponto em comum com R (a distância já dada) em relação a S.

Uma proposta é tomar quaisquer retas que cruzem o mesmo ponto e que não sejam coincidentes, e então verificar que propriedades obrigatórias possuem quaisquer retas não coincidentes que cruzam o mesmo ponto. Estas propriedades poderão completar o teorema partindo da noção de distância que foi acrescentado a geometria.