Hipótese de Riemann

A hipótese de Riemann, de que todos os zeros não triviais da função Riemann Zeta estão na linha crítica (Re(s)=½), é um dos problemas mais procurados na teoria dos números. Uma prova dessa afirmação (também conhecida como o 8º problema de Hilbert) lançaria luz sobre muitos dos mistérios que cercam a distribuição de números primos e, claro, tornaria alguém mais rico em um milhão de dólares.

Curiosidades da função Riemann Zeta

Neste tópico podemos apresentar e discutir alguns resultados interessantes e inesperados sobre a Função Zeta de Riemann!

Vou começar com o famoso:

A probabilidade de dois inteiros aleatórios serem coprimos é exatamente 1/ζ(2) = 6/л² , onde л é o número PI=3,141592...

Você está certo, a probabilidade é aproximadamente igual a 60, 7927%.

O sentido desta probabilidade é assumir uma distribuição uniforme sobre
An = {0,1,2,...,n-1,n}x{0,1,2,...,n-1,n} ,
então contando pares coprimos (k1,k2) em An, digamos pelo número a(n) , e dividindo por 1/(n+1)²

Acontece que o limite
lim [ a(n)/(n+1)² , n-> ∞] existe
e é igual a 1/ζ(2) = 6/л²

Por simetria estende-se este resultado aos outros 3 quadrantes de Z².

Generalizações
Seja s um número natural >1.

Analogamente, pode-se provar que a probabilidade (no sentido acima) P(s) de que s inteiros aleatórios sejam coprimos é exatamente 1/ζ(s) .

Pela Fórmula de Euler , para s pares temos ζ(s)=Bs*(2л)^s/s! , onde Bs é o s-ésimo número de Bernoulli .

Isso naturalmente leva a
P(4) = 90/л^4,
P(6) = 945/л^6,
etc...


Espero que tenham gostado desses resultados,

Continuação analítica: Além da série ∑1/n^s

A primeira pergunta que se deve fazer sobre a Hipótese de Riemann é:

Como pode ζ(s) possivelmente ter zeros com Re(s) = 1/2 se a série
ζ(s) = Soma [ 1/n^s ; n=1..∞ ] diverge para todos s tais que Re(s) <=1 ?!

Exemplo para s=-2:
Soma [ 1/n^(-2) ; n=1..∞ ] = 1² + 2² + ... = ∞

Não vou explicar rigorosamente aqui os conceitos de continuação analítica de uma função variável complexa, mas a ideia principal é encontrar outra representação de ζ(s) que é "significativo" não apenas para Re(s) > 1, mas aquele que é significativo para um subconjunto maior do plano complexo E que a nova representação COINCIDE com
Soma [ 1/n^s ; n=1..∞ ] para Re(s) > 1.

A "sobreposição" das duas representações deve ser "suave" , daí o nome e o conceito necessário de analiticidade.

Na verdade, podemos encontrar tal representação para ζ(s) que seja significativa para todo o plano complexo, exceto em s=1, onde satisfaz ζ(1) = ∞.
Isso não será feito aqui por enquanto, talvez alguém queira contribuir com o tópico mais tarde.

Mostro abaixo de uma maneira simples que ζ(s) tem uma continuação analítica para todos os s complexos com Re(s) > 0 :

Primeiro de tudo, pode ser mostrado usando convergência uniforme em subconjuntos compactos que a série
Soma [(-1) ^(n-1)/n^s ; n=1..∞ ]
converge para todos s com Re(s) > 0 e que a função
η(s) = Sum [ (-1)^(n-1)/n^s ; n=1..∞ ]
é uma função analítica para Re(s) > 0.

Tomando isso como certo, primeiro assumimos que Re(s)>1 e procedemos da seguinte forma:
ζ(s) - η(s) = Soma [ (1+(-1)^n)/n^s ; n=1..∞ ]=
= 2*Soma [ 1/n^s ; n=2,4,6,8,10,...] =
= 2*Soma [ 1/(2n)^s ; n=1..∞] =
=2*(1/2^s)*Soma [ 1/n^s ; n=1..∞] =
=(1/2^(s-1))*ζ(s)

Portanto,
ζ(s) = (1-1/2^(s-1))*η(s) para Re(s)>1

Mas esta representação obtida não se limita a Re(s)>1,
ela está em fato válido para Re(s) > 0, s!=1

Assim, encontramos uma continuação analítica de ζ(s) para Re(s) > 0,
dada por:
ζ(s) = (1-1/2^( s-1))*η(s), para Re(s)>0, s!=1.

A continuação analítica para Re(s) ≤ 0 pode ser encontrada aplicando a famosa Equação Funcional : ζ(1-s) = 2*(2PI)^(-s)*cos(s*PI/2)*Γ(s )*ζ(s) onde Γ(s) = ∫[ t^(s-1)*exp(-t)*dt; t=0..∞] é a função gama , que é analítica em todos os lugares, exceto nos inteiros não positivos. cos é o cosseno, uma função inteira. A prova desta equação funcional não é trivial, se precisar de alguma referência, solicite.

Equivalentes lógicos para RH

Vamos postar e discutir aqui declarações equivalentes ao RH!

Talvez o mais conhecido seja este envolvendo a integral logarítmica e a função de contagem de primos π:
(1) Existe uma constante positiva c tal que
|π[x]-Li[x]|<=c√xlogx para x>1
onde Li[x]= INT[1/logt,t=2..x] e log significa o logaritmo natural.

Esta é a minha preferida:
(2) Para todo n>1, a seguinte desigualdade é válida:
σ[n]

Esta terceira é surpreendente, pois envolve o valor de uma integral dupla imprópria!
(3) INT[INT[ ((1-12y²)/(1+4y²)³)log|ζ(x+iy)| , x=½..∞], y=0..∞]=
((3-γ)/32)π
onde γ é a constante de Euler-Mascheroni e π é o número pi.

Você pode dizer o que ζ significa na terceira equação? E o uso de colchetes me confunde - pois eles são apenas parênteses ou significam a maior função inteira.

ζ é a letra grega zeta para a função zeta.

Os colchetes servem apenas para indicar que uma integração é feita

INT [ f(x) , x=a..b ] significa integral de f de a até b.

Provabilidade de RH

Você não acha que se for provado que a série sigma(1/n^s) é convergente em s tal que Re(s)=0,5 apenas, RH está provado?

sigma(1/n^s ; n=1..inf) é divergente em Re(s) = 1/2 !

Georg Bernhard Riemann

A tese de Riemann estudou a teoria das variáveis ​​complexas e, em particular, o que hoje chamamos de superfícies de Riemann. Portanto, introduziu métodos topológicos na teoria de funções complexas.
A teoria geral da relatividade justificou esplendidamente o seu trabalho. No aparato matemático desenvolvido a partir do discurso de Riemann, Einstein encontrou a estrutura adequada às suas ideias físicas, à sua cosmologia e cosmogonia: e o espírito do discurso de Riemann era exatamente o que a física precisava: a estrutura métrica determinada pelos dados.
A hipótese de Riemann, de que todos os zeros da função Riemann Zeta estão na linha crítica, é um dos problemas mais procurados na teoria dos números. Uma prova dessa afirmação lançaria luz sobre muitos dos mistérios que cercam a distribuição dos números primos e, claro, tornaria alguém um milhão mais rico.

Qual é a melhor fonte?

Ultimamente tenho me interessado por RH. alguém pode me ajudar, informando a melhor fonte para obtê-lo.

Tentei a Wikipedia, mas acho que é a essência. Estou procurando uma descrição mais detalhada.

Muito obrigado antecipadamente.

Leia 'Prime Obsession - Bernhard Riemann e o maior problema não resolvido em matemática', de John Derbyshire. É um livro muito bom tanto historicamente quanto para apresentar a hipótese de Riemann.

Com base no post sobre equivalências da RH, sugiro implicações envolvendo a GRH - Grande (ou Geral) Hipótese de Riemann.

Começarei com 2 implicações:

1.-) Se b = ± 1 ou um quadrado perfeito então b é uma raiz primitiva para um número infinito de primos p. (Artin)

2.-) Dadas duas curvas elípticas não isógenas E e E' sobre os racionais Q, existe um primo p que é O((log N_E N_E')^2) para o qual E e E têm boa redução em p, e seu número de pontos mod p são diferentes. (onde N_E é o condutor de E). (Serre)

Na prática, a GRH é utilizada como uma hipótese de trabalho muito confiável, que em muitos casos foi removida.

Alguém tem os e-books:

A Teoria da Função Zeta de Riemann
E. C. Titchmarsh DR Heath-Brown (Editor)


A Função Zeta de Riemann: Teoria e Aplicações
Aleksandar Ivic

Zeta de Riemann e zeros triviais

Esses dias li sobre esta intrigante função. Não entendi uma coisa e pode ser muito básica entao me desculpem. A função é definida como o somatório infinito z(x) = 1/1^x + 1/2^x + 1/3^x + ... + 1/n^x + ... e é conhecido que tem "zeros triviais" quando x é inteiro negativo par: x = -2, -4, -6, etc. Mas meu, vejo aqui:

z(-2) = 1/1^-2 + 1/2^-2 + 1/3^-2 + ... = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... e isso explode!

Pelo que li, parece que essa série só converge para valores na potência, valores reais maiores que 1.
Mas eles fazem uma expansão da definição (acho que se chama continuação analítica, ou algo assim), vou postar aqui uma maneira de deduzir a função zeta pros valores positivos pares, vão ser vários posts e a dedução vai ser meio ingênua e informal (talvez até errada, mas o resultado vai ser o certo).

Função geradora
função geradora
usarei agora uma função que gera os números, chamados números de Bernouli

a função que o gera é
t/(e^t -1)=∑[k=0,∞]Bk.(t^k)/k!
e os números de Bernouli, podem ser obtidos por
∑[k=0,m]c(m+1,k)Bk=0 se m>0
=1 se m=0.
com esse resultado acima você pode descobrir alguns números de Bernouli

agora vamos para os métodos simbólicos

primeiro considere uma função f(x) que possua infinitas derivadas (possa ser derivada em qualquer ordem)
vamos tomar a série de Taylor de f(x+y), derivando em relação a y

isso nos dá a série
obs: vou considerar D^k, como k-ésima derivada (tomada próximo a um ponto yo=0)
f(x+y)=∑[k=0,∞]D^kf(x).(y^k)/k!

tomando y=1 ficamos com
f(x+1)=∑[k=0,∞]D^kf(x)/k!

introduzo um novo operador , o operador E que faz a expansão
Ef(x)=f(x+1)
temos o operador E, se relacionando com o ∆, da seguinte maneira
E-1=∆
pois f(x+1)-f(x)=∆f(x)
chegamos na seguinte conclusão pela série de Taylor anterior
Ef(x)=∑[k=0,∞]D^kf(x)/k!

que simbolicamente expressamos
E=∑[k=0,∞]D^k/k! (1)

lembrando da formula
(por Taylor)
e^t=∑[k=0,∞]t^k/k!

fazemos o mesmo com o segundo membro de (1)
E=e^D (simbolicamente)

a partir dai temos
como E-1=∆
∆=e^D-1

mas queremos o somatório, como ∑=∆^(-1)
escrevemos
∑=1/(e^D-1)

da função geradora de numeros de bernouli temos

t/(e^t -1)=∑[k=0,∞]Bk.(t^k)/k!
logo

1/(e^t -1)=(1/t)∑[k=0,∞]Bk.(t^k)/k!

que expressamos simbolicamente

1/(e^D -1)=1/D∑[k=0,∞]Bk.(D^k)/k!

abrindo o primeiro termo do somatório a direita

∑=∑[k=0,∞]Bk.(D^(k-1))/k!=B0.(D^(-1))+∑[k=1,∞]Bk.(D^(k-1))/k!

D^(-1)=∫

∑=B0∫+∑[k=1,∞]Bk.(D^(k-1))/k!

Fazendo mudança de variável no segundo somatório (subtraindo 1 dos limites)
∑=B0∫+∑[k=0,∞]Bk.(D^(k))/(k+1)!

aplicando tudo agora numa função f(x), temos

∑f(x)=B0∫f(x)dx +∑[k=0,∞]Bk.(D^(k)f(x))/(k+1)! +c (não esqueça de c, uma constante)

que é a forma de Euler-Maclaurin

agora vocÊ pode aplicar o limite inferior e superior no somatório

∑[a,b]f(x)=[B0∫f(x)dx +∑[k=0,∞]Bk.(D^(k)f(x))/(k+1)! ]|[a,b+1]



exemplo

ache a expressão de
∑x^4
usando o método fica
x^5 /5 -x^4/2 +x^3/3 -x/30 +c
que é uma primitiva finita (se tirar o delta dela, retornamos para o que esta sendo somado)

∑[a,b]x^4=(x^5 /5 -x^4/2 +x^3/3 -x/30 )|[a,b+1]

Precisamos chegar na série de cotgx, pra isso precisamos de alguns resultados preliminares, alguns lemas, esses lemas deixo como exercicio pro leitor =p

lemas

cotgx/i=[e^(2xi)+1]/[e^(2xi)-1]

1/[e^(2xi)-1]=1/2([e^(2xi)+1]/[e^(2xi)-1] -1)


vamos agora analisar uma série pela formula de Euler maclaurin

∑f(x)=B0∫f(x)dx +∑[k=0,∞]B(k+1).(D^(k)f(x))/(k+1)! +c

aplicando essa formula num termo e^(hx), temos

∑e^(hx)=e^(hx)/[e^h -1]=B0∫e^(hx)dx +∑[k=0,∞]B(k+1).(D^(k)e^(hx)/(k+1)! +c=
=B0[e^(hx)]/h +∑[k=0,∞]Bk.(h^(k)e^(hx)/(k+1)! +c


tomando agora x=0 temos

1/[e^(h)-1]=b0/h +∑[k=0,∞]B(k+1).h^k/(k+1)! +c

agora tomando h=2xi temos

1/[e^(2xi)-1]=b0/(2xi) +∑[k=0,∞]B(k+1).(2xi)^k/(k+1)! +c

e lembrando que

1/[e^(2xi)-1]=1/2(cotgx/i -1) temos agora que

cotgx/2i -1/2 =b0/(2xi) +∑[k=0,∞]B(k+1).(2xi)^k/(k+1)! +c

logo
cotgx= i +b0/x +2i∑[k=0,∞]B(k+1).(2xi)^k/(k+1)! +c

abrindo o primeiro termo do somatorio e usando que b1=-1/2 temos

cotgx=b0/x+2i∑[k=0,∞]B(k+1).(2xi)^k/(k+1)! +c

multiplicando tudo por x e rearrumando o somatorio temos, usando tb que a função xcotgx é par, conseguimos chegar a conclusão que
B3=b5=b7=...=b(2k+1)=0
para k>1

xcotgx=∑[k=0,∞]b2k.(-4)^k.x^(2k)/(2k)!
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cotgx= ∑[k=0,∞]b2k.(-4)^k.x^(2k-1)/(2k)!

pela relação
cotgx-2cotg2x=tgx, chegamos na série de tgx
usando

cotgx/2 -cotgx=cosecx, chegamos na série de cosec x
no proximo post vem a parte mais chutada =/

Errata na formula de soma de Euler Maclaurin
∑f(x)=B0∫f(x)dx +∑[k=0,∞]B(k+1).(D^(k)f(x))/(k+1)! +c

o termo de Bernoulli é k+1 em vez de k (o índice)

Agora vem a parte informal e até errada talvez, mas com ela consegui deduzir alguns valores da zeta

tome senx, sabemos que essa função, tem zeros para
x=kπ , com k inteiro
(π é o numero pi)
Seja D a derivada, sabemos que
D ln senx=cosx/senx=cotgx
vamos aproximar

ln senx pelo produto infinito

ln senx =ln x∏[k=1,∞][1-x²/(kπ)²) =
=ln x +∑[k=1,∞]ln[1-x²/(kπ)²)

tirando a derivada agora temos

cotgx=1/x +∑[k=1,∞]-2x/(kπ)²[1-x²/(kπ)²)^(-1)

agora expanda por série de taylor, ou por resultado de série geometrica

cotgx =1/x -2∑[p=0,∞]x^(2p+1)/(π)^(2p+2)∑[k=1,∞]1/k(2p+2)

agora voce tem um outro resultado para cotg x
igualando com a série anteriormente obtida para cotgx, voce chega no resultado

∑[k=1,∞]1/k^(2n)=(-1)^(n+1).B2n.(2)^(2n-1).π^(2n)/(2n)!
que são valores pares da função zeta

Achei interessante a teoria que surgiu (teoria analítica dos números, que usaria métodos de análise complexa para provar teoremas de teoria dos números) e essa função zeta relacionada ao teorema dos números primos.