A Natureza dos Números

Hum, de que crítica você fala? Não acho que o número seja um "agregado".

Você diz que "números inteiros" são representações simplificadas de objetos reais complexos...

Mas desde Berkeley temos uma objeção a isso...considere um livro de 72 páginas...

Que número é uma representação simplificada dele? O número 1 ou o número 72?

Considere um batalhão... qual número é uma representação simplificada dele? O número de soldados? O número de tropas? O número de átomos?

Isso tem a ver com o fato de que o número está relacionado com um conceito, e não com um objeto real complexo...

É, bem dito, o número é uma representação neural simplificada de uma coleção de objetos.

O 7, por exemplo, é uma representação cerebral de Goku sobre sua coleção de esferas do Dragão.

Bem bacana!
Mas esta explicação contraria a platônica, ou apenas não afirma tudo que ela diz?

Valeu, Infinito. O que se convencionou chamar hoje em dia de "platonismo na matemática" tem pouco a ver com Platão em si, e mais com as ideias metafísicas de matemáticos como Godel, que viam os objetos matemáticos como seres reais que existiriam em algum outro plano dimensional.

De fato, o tal "platonismo na matemática" se assemelha mais com a visão dos pitagóricos, que personificavam os números em deuses, do que com a visão que o próprio Platão tinha sobre os números.

Para Platão, existiam as ideias (que seriam equivalentes a "conjuntos", em uma acepção moderna) e os objetos empíricos (que seriam os "elementos" dos conjuntos).

Os números, para Platão, eram um terceiro tipo de ser, que ficava no meio do caminho entre os objetos sensoriais e as ideias. Pois, assim como as ideias, os números não eram vistos pelos sentidos, eram concebidos apenas pelo intelecto. Porém, diferentemente das ideias imutáveis, os números não eram estáticos, e sim tinha um propósito de sofrerem modificações através de operações de soma, multiplicação etc, tal qual objetos empíricos. Assim, os números eram como um instrumental do intelecto que fazia ponte entre ideias perfeitas ou classes e indivíduos transitórios.

Nesse sentido, a explicação que apresentei no tópico é mais coerente com a visão platônica da matemática do que o vulgo “platonismo na matemática” atual. Este é chamado assim apenas devido a uma interpretação equivocada de Platão, que vem se difundindo desde a antiguidade, conforme Platão foi reinterpretado (ou re-inventado) por diferentes filósofos, como Aristóteles, Plotino, Santo Agostinho, Schopenhauer etc.

Mais um exemplo: É só medir o perímetro de um pneu, e divida pelo seu diâmetro. Pi (e qualquer real) representa, acima de tudo, extensão física.

Obviamente, você nunca mede exatamente Pi, até por que ele possui infinitas casas decimais. E até a natureza do universo é, provavelmente, discreta.

Mas Pi lhe diz o que esperar caso você aprimore a precisão de sua mensuração e a forma circular do seu pneu.

Por analogia, o símbolo para nota Sol na partitura representa qualquer som na altura sol a ser executado.

Isso não implica que exista uma entidade Clave de Sol em alguma outro plano.

Enigma, independentemente das ideias de Platão, especificamente sobre números, o fato é que ele concebia uma realidade metafísica, objetiva, independente de nós - que é a ideia que você mais detesta. Platonismo em matemática meramente indica que se está considerando a realidade matemática também objetiva e também independente de nós.

Não detesto a ideia de uma realidade objetiva, é claro.

O universo é uma realidade objetiva.

E independente de existir homens, no universo há elementos e conjuntos, como sugeriu Platão.

O que me entristece é ver gente que nunca leu nada de Platão e mesmo assim abusar do nome dele para justificar os próprios devaneios ontológicos (ou os alheios).

Eu sei que você não tem problema com a realidade objetiva... física. O que eu afirmei acima é que você detesta qualquer ideia de realidade objetiva não-física (seja em que sentido se der o não-físico). A metafísica de Platão é, inteira, uma afronta pra você, nesse sentido (bom, pra mim também, por razões outras - aquele tipo de metafísica é insano).

Enigma, podes crer...
Temos as obras de Platão para testemunhar, mesmo considerando que as traduções mais antigas que temos não transmitem 100% do original... E quanto a Pitágoras, este sim foi muito caricaturado... Penso que na concepção pitagórica, os 10 primeiros números apontam para 10 "ideias" fundamentais imutáveis, entre as ideias cognoscíveis/objetivas, começando por "unidade" e "dualidade" representadas por 1 e 2... Andei investigando a origem da palavra matemática e sua etimologia, e o máximo que consegui reconstituir é que é mais provável que Pitágoras a tenha criado, usando a palavra sânscrita "man" (mente), e as gregas "thema" (tema) e "tekne" (técnica). Thema é o objeto/conteúdo de uma "thesis" (tese). O objeto da matemática para Pitágoras era o número. Então, considerando assim, é uma espécie de objeto mental, ou melhor, "aquilo que pode ser objeto da mente". A matemática teria por objeto a "substância" primeira da cognição objetiva, ou, dentre tudo que pode ser conhecido objetivamente, o elemento primeiro é o objeto da matemática.

Enigma, permita-me comentar algo que escrevestes acima.
Você acha possível construir um circulo físico perfeito, onde podemos encontrar Pi? A realidade física está em constante transformação. Se restringirmos a matemática à números racionais, o Pi estaria para além, pois não se expressa por uma razão entre inteiros. Mas quando uma pessoa entende o que é Pi, ela o vê como uma ideia muito racional. Penso que um quadrado, por exemplo, é uma ideia (um conteúdo mental), e nunca existiu ou existirá um quadrado percebido exteriormente pelos cinco sentidos (exteriores). Aceitando estas teses, pode-se evoluir para outras.

@Professor Black , ao contrário, a filosofia de Platão (e depois a de Hume) é a que mais admiro e concordo. Quem leu bem Platão e teoria dos modelos entende o que quero dizer. Como já disse, discordo é das ulteriores deturpações didáticas e interpretações toscas da filosofia platônica.

@Infinito , o círculo da geometria é um conjunto de infinitos pontos sem dimensão, o pneu é uma nuvem finita de átomos em movimento (cada um composto de muitas sub-partículas), acho complicado até mesmo definir o que seria um círculo físico perfeito.

Sobre o solipsismo, damos um grau de crédito aos sentidos e à nossa razão não por eles serem certeza, como alguns creem muito ingenuamente. Mas sim por motivos práticos: confiáveis ou não, esses dois informantes são nossas únicas duas fontes de conhecimento sobre o mundo. Duvidando dos dois completamente, seríamos condenados à ignorância eterna ou a ser um vegetal.

Amigos, este debate é realista, mas em breve criarei um tópico sobre a natureza da consciência.

Fiquei devendo esta resposta: se A e B são dois conjuntos disjuntos, então #A + #B = #(A U B)

(Onde #X é a cardinalidade de X e X U Y é a união de X e Y, para quaisquer conjuntos X e Y).

Infinito escreveu:Andei investigando a origem da palavra matemática e sua etimologia, e o máximo que consegui reconstituir é que é mais provável que Pitágoras a tenha criado, usando a palavra sânscrita "man" (mente), e as gregas "thema" (tema) e "tekne" (técnica). Thema é o objeto/conteúdo de uma "thesis" (tese). O objeto da matemática para Pitágoras era o número.

Etimologia da palavra Matemática:

Do grego "Mathematike".
Eu achei bastante a tradução de "mathema" que significa algo a ver com "conhecimento" e "aprendizagem". É raro encontrar o significado exato de "tike". Também acha-se facilmente "mathematikos" que significa "matemático", ou aquele tipo de discípulo pitagórico mais avançado e que se dedicava às matemáticas. Mas a etimologia exata da palavra matemática num todo não achei nenhuma satisfatória, no máximo que "tike" vem de "tekne", que significa "técnica", "arte", e portanto matemática é a "arte de conhecer"? Seria este o sentido etimológico literal? Pois pode-se combinar as duas partes da palavra de outra forma e obter outro significado.

Etimologicamente, a palavra matemática significa, segundo Ubiratan D’Ambrósio, “arte ou técnica de explicar e conhecer”, que resulta da junção de "matema" (explicar, aprender, conhecer, lidar com) mais "tica" (modo, estilo, arte, técnica). Explanando, significa um instrumento de reflexão, de observação, um instrumento intelectual (tica) que serve para explicar, entender, conhecer, aprender e lidar com (matema) a realidade.
A palavra matemática deriva do grego "mathematiké" (CUNHA, 2007, p.506). Supõe-se ter sido criada por Pitágoras (séc. VI a.C.) para descrever suas atividades intelectuais (BOYER, 1996, p.33). Para Pitágoras, a matemática é a “arte de obter os conteúdos do saber”. A "Mathesis" é a instrução, a sabedoria, o conhecimento, é algo ativo, que o homem deve esforçar-se em conquistar. "Mathema" é o conteúdo desse conhecimento, cuja arte em alcançá-lo é a matemática (SANTOS, 2000, p.73).

Enigma, é complicado definir um círculo físico perfeito sim, pois não existe!

Pensei umas 15 vezes em citar a consciência nestes debates, mas me abstive. Pode apostar que é a maior dificuldade contra uma visão como a tua. Não há qualquer sentido possível em que a consciência, a subjetividade, seja em si mesma algo físico, no sentido em que hoje entendemos o físico (basicamente, porque coisas físicas são objetivas; e coisas mentais, conscientes, são subjetivas). Num certo sentido, tenho certeza de que é um problema insuperável para o materialismo tal como defendido contemporaneamente - mas não quer dizer que eu seja "dualista". O tema é complexo e minha posição é bem delicada.

A geometria euclidiana descreve o espaço newtoniano, algumas geometrias não-euclidianas descrevem o espaço sobre efeitos relativísticos, e outros sistemas geométricos descrevem como seria o espaço de vários universos imaginários.

Nem sempre isso foi tão claro. No fim da Idade Média, de um modo ingênuo, cria-se na existência fora do nosso universo de uma entidade metafísica chamada Plano, outra chamada Ponto, outra chamada Esfera etc. como a única forma de “explicar” o poder preditivo da geometria (explicar com muitas aspas, pois isso criava mais coisas inexplicáveis do que explicava as coisas... rs).

Godel cometeu o mesmo engano, mas com números. Mas a pseudo-”explicação” da matemática pela divinização dos números não é mais inteligente do que a divinização dos objetos geométricos.

Hilbert, ao axiomatizar a geometria, disse que nada deveria se alterar se as palavras "ponto, reta, plano" fossem substituídas por "mesa, cadeira, copo". A Geometria para ele era apenas um sistema formal nulo de significado. Esse sistema formal só seria interpretado de muitas maneiras diferentes ao ser aplicado na prática, seja descrevendo uma mesa de bar ou o espaço newtoniano.

Mas isso não é só com a geometria. O mesmo ocorre com as demais teorias matemáticas, como aritmética, análise, teoria dos conjuntos etc. São teorias formais genéricas que descrevem bem diferentes tipos de conteúdos ou realidades físicas, e por isso possuem não só uma mas sim inúmeras interpretações no universo físico.

Veja ZF, por exemplo. Em si mesmo é uma teoria formal sem interpretação. A relação de “pertença” (já que não existe nele o predicado “...é conjunto”) é interpretada de uma infinidade de maneiras diferentes, de acordo com a “aplicação prática” da teoria dos conjuntos. A “pertença” pode ser utilmente interpretada como a contiguidade em um corpo rígido, quando, por exemplo, dizemos que os dedos são “partes” da mão. “Pertença” pode ser interpretada como proximidade espacial, como quando dizemos que reunimos um grupo de 8 alunos.

A relação de pertença pode ser interpretada ainda de modo intencional, como significando o fato de atribuirmos um predicado a certo sujeito etc. Todas essas interpretações para a relação de pertença podem fazer algum proveito da teoria dos conjuntos. Já números inteiros podem ser interpretados como dívidas em banco, reais como o resultado de medição de extensão, ou instrumentos analógicos como um relógio ou velocímetro do meu etc.

Teorias ou sistemas formais só deixam de ser um reles jogo de combinação de símbolos quando recebem uma aplicação prática bem sucedida, ganhando uma interpretação imanente no universo. Isso já explica seu poder de previsão dessas sistemas. Supor que essas teorias em si também descrevem entidades eternas que existem fora do nosso universo além de totalmente inútil e não explicar nada, cria mais inúmeras complicações inexplicáveis.

Estou apelando apenas para o bom-senso, com o máximo de clareza que posso.

A alternativa é crer que por que escrevi X = “O conjunto de todos os seres humanos” então mesmo que o universo inteiro seja destruído, todos nós homens continuaremos a existir de algum modo ainda que tênue de existência em um plano transcendental exprimidos no resplandecente Conjunto Eterno e Incorruptível de todos os seres humanos.

Talvez fosse bom se esse tipo de “Céu” existisse, mas não podemos deixar esse desejo turvar nosso discernimento e bom senso. Só quem deseja muito crer em seres transcendentes pode ainda defendê-los. O universo físico em si é a maior das transcendências.

Devido a transitividade da relação “parte de”, esta interpreta mais fidedignamente a relação “subconjunto de” do que “pertence a”. Como consequência dessa interpretação, o “pertence a” interpretaria algo como “partícula mínima ou elementar de...”, no sentido em que podemos dizer que o limão é um “conjunto” de átomos e a esfera da geometria analítica é um conjunto de pontos, e que uma fatia circular da esfera é parte da mesma (subconjunto dela) assim como uma rodela da limão é parte (subconjunto) dele. Se estudo biologia e não química, haveria outra interpretação com células como partículas mínimas do limão e o gomo e a casca como partes do limão etc..

Mas enfim, a ideia está dada.

No caso da pertinência interpretada em XFC e como "parte de" na mereologia, as consequências são diferentes. Para aquela, não vale transitividade, para esta vale...

Hum, não entendi... XFC, merologia?

Em todo caso, mesmo que uma interpretação não satisfaça todos os teoremas de uma teoria formal, o fato dela satisfazer um subconjunto efetivamente enumerável de teoremas não-triviais já possibilita usar a teoria para obter algum conhecimento sobre a estrutura em questão.

Dei uma pesquisada aqui e encontrei o que você quis dizer sobre mereologia.

Concordo plenamente com você que, no sentido habitual, P (“parte de”) não é uma interpretação ideal para E (“pertinência”), apesar da teoria dos conjuntos ser satisfeita (acredito) por estruturas onde é o caso de E ser transitivo.

Já a relação C (subconjunto) me parece natural ser interpretada em P, já que ambas são de boa ordem. De fato, frequentemente descrevemos um objeto X como um conjunto de pontos e as partes de X como subconjuntos de X.

Nesse sentido, se interpretamos x C y =def P(x,y), podemos interpretar x E y =(def PP(x,y) & ~Existe z PP(z, x)), onde PP(x, y) = def P(x, y) & ~P(y,x). Isto é, x pertence a y se x é uma parte mínima de y (isto é, x é parte própria de y e x não tem partes próprias). Nesse caso, a transitividade ainda assim valeria para E, porém sempre vacuamente (pois se x é parte mínima de y, y não pode ser parte mínima de um z, pois y possui partes próprias). E na verdade, essa transitividade vacuamente verdadeira para E já ocorre naturalmente na teoria dos modelos quando nosso universo de discurso se limita a conjuntos de “primeira ordem”, e excluí conjuntos de conjuntos, ou conjuntos de “ segunda ordem”.