Ninguém pode provar nada a ninguém

Eu concluí isso baseado neles.

O livro do Kant é a Crítica da Razão Pura, na segunda parte, no final do livro, na seção "A disciplina da razão pura no uso dogmático".

"Divido todas as proposições apodíticas (sejam demonstráveis ou também imediatamente certas) em "dogmata" e "mathemata". Uma proposição sintética diretamente derivada de conceitos é um "dogma"; inversamente, uma proposição sintética diretamente derivada da construção de conceitos é um "mathema". (Kant)

Tem que se considerar o contexto. Esta parte contribui também para a compreensão da etimologia da palavra matemática.

Baseado nesse texto, quando eu estava lendo a Teoria da Situações Didáticas de Brousseau, na parte em que ele trata das "situações de informação" que podem ser dialéticas ou dogmáticas, eu concluí esta síntese.

O livro é dividido em duas partes, I e II.

Então: II, Capítulo I, Seção primeira.

Mr. Enigma escreveu:“If-thenism” is the doctrine that “all mathematical statements are conditional in form”, a view asserted by Russell in the very first sentence of his 1903 Principles of Mathematics, when he says: “Pure mathematics is the class of all propositions of the form ‘p implies q’.” (Russell 1903, p.3)

Se 'p', então se 'q', então 'p'? Por que esse 'q'?

E que teoremas partem desse axioma?

Se os axiomas são a base de toda a matemática, e se não podem ser provados, então podemos dizer que eles são intuitivos?

Monalisa escreveu:
Se 'p', então se 'q', então 'p'? Por que esse 'q'?

Porque funciona.

E que teoremas partem desse axioma?

Somado aos outros que formam um sistema completo, seguem-se todas as tautologias, inclusive "p --> p".

Se os axiomas são a base de toda a matemática, e se não podem ser provados, então podemos dizer que eles são intuitivos?

Isso de axiomas não poderem ser provados deve ser relativizado. O axioma "p -->. q --> p" vira teorema no sistema que adota o axioma de Meredith como axioma único. Além disso, axiomas de uma teoria podem ser teoremas de outras.

Podemos dizer que eles são intuitivos? Eu não diria isso, pois não acho o axioma "CCCCCpqCNrNsrtCCtpCsp" nada intuitivo.

Geômetra escreveu:Eu não diria isso, pois não acho o axioma "CCCCCpqCNrNsrtCCtpCsp" nada intuitivo.

????

Então como saber se algo é um axioma?

E como saber se algo é um teorema?

Monalisa escreveu:

Geômetra escreveu:Eu não diria isso, pois não acho o axioma "CCCCCpqCNrNsrtCCtpCsp" nada intuitivo.

????

É só uma curiosidade...

Axioma de Meredith na notação polonesa:

CCCCCpqCNrNsrtCCtpCsp

"Axiomas" são as sentenças primitivas do sistema, o ponto de partida; você não pode demonstrar um axioma porque não há nada antes. Teorema é tudo aquilo que você consegue demonstrar a partir dos axiomas. Para manter a generalidade, considera-se que um axioma é também um teorema (mas não vice-versa), sendo o axioma ele mesmo a sua própria demonstração.

No sistema de Schoenfield, qualquer coisa da forma "A vel -A" é um axioma. No sistema de Frege, "p --> (q --> p)" é um axioma. Na teoria elementar dos corpos, "x + 0 = x" é um axioma. Na aritmética de Peano, o postulado da indução é um axioma. Nos Elementos de Euclides, o primeiro axioma é: dois pontos determinam exatamente uma reta...

Como saber se algo é um axioma? Simples: nos livros modernos os autores indicam explicitamente quais os axiomas. A apresentação axiomática da lógica começou com o Begriffsschrift de Frege.

Como saber se algo é um teorema? Basta encontrar uma prova para este algo.

Uma axiomática particularmente interessante é a NF de Quine, que é um híbrido de sistema de conjuntos com lógica propriamente dita, e só tem seis assunções primitivas:

a) Um axioma para o cálculo proposicional;
b) um axioma para o cálculo de predicados;
c) uma regra para o cálculo proposicional;
c) uma regra para o cálculo de predicados;
d) o princípio da extensionalidade e
e) uma espécie do princípio de abstração, com restrição de tipos (restrição necessária para evitar paradoxos como o de Russell).

Como ele adota a conectiva de Sheffer, pode reduzir os axiomas do cálculo proposicional a um único. Este sistema faz tudo o que a axiomática dos Principia Mathematica faz, com pelo menos duas vantagens: não multiplicar as cardinalidades indefinidamente por cada tipo e não precisar postular um conjunto infinito para criar as cardinalidades infinitas. Já se provou a consistência de NF relativamente a ZFC (se não me engano, a prova é do Hao Wang).

O interessante é que é impossível se demonstrar que um sistema de axiomas pode provar todos os teoremas do seu sistema.
Por exemplo, a Hipótese do Contínuo não pode ser demonstrada falsa ou correta dentro de qualquer sistema de axiomas "inventado" até hoje.
Daí sai a distinção entre correto e demonstrável.

Não é bem assim. Na verdade, é exatamente o contrário: por definição de "teorema", TODOS os sistemas provam exatamente TODOS os seus teoremas, porque "teorema" não é nada mais do que aquilo que é provado.

A distinção a que você se refere é entre validade e demonstrabilidade. "Correto" tem uma outra acepção em lógica.

Eu usei a palavra errada. Ao invés de teorema era pra ser proposição.
Sempre vão ter proposições que não podem ser provadas dentro de um sistema. Mesmo se o "teorema" for correto, pode ser matematicamente impossível de se provar. Essa é a essência do TEOREMA da Incompletude.

O seguinte esquema de axioma, proposto por Meredith em 1953, juntamente com modus ponens, forma um sistema correto e completo para o cálculo proposicional clássico:

((((A --> B) --> (~C --> ~D)) --> C) --> E) --> ((E --> A) --> (D --> A))

Nicod propôs em 1917 que o cálculo proposicional poderia ser derivado de um único esquema de axioma (ou de um axioma propriamente dito mas acrescentando-se a regra de substituição, o que dá no mesmo). Entretanto, Nicod adota a conectiva de Sheffer como primitiva, e não a negação e o condicional de Filo, como é o caso do axioma acima.

Sabe, galera, todo esse papo é muito interessante.
Eu concordo com o Geômetra sobre as distinções de axiomas e teoremas, e acho que eu posso complementar o raciocínio do nosso amigo dizendo que os axiomas servem como uma sustentação dos teoremas (o "ponto de partida"), isto é, a parte elementar de uma teoria. Neste caso a palavra elementar toma o sentido atômico da palavra, isto é, a parte mais simples da coisa, um elemento irredutível.
Posso dar como exemplo o seguinte raciocínio: as retas são postulados que são "definidos" através de um raciocínio axiomático, pois poderíamos pensar numa reta como um conjunto de pontos, mas não em qualquer disposição, pois os pontos devem estar ALINHADOS. Ora, retirando da palavra em destaque o sufixo e o prefixo, resulta na palavra: A-LINH-ADOS QUE SE APROXIMA DA PALAVRA LINHA, mas a palavra linha é uma espécie de sinônimo de reta, portanto, reta é um conjunto de pontos que estão sobre uma mesma linha=reta. Em outras palavras, não definiu-se nada.

Outra coisa em que eu posso compartilhar as minhas observações, é o fato de toda a natureza agir dessa forma, ou seja, sempre exitem coisas que se fundamentam em outras, sendo estas de natureza irredutível (se eu não me engano foi o filósofo Demócrito que tinha esse tipo de pensamento).
Jean Piaget foi um renomado psicólogo que estudou muito o desenvolvimento psicológico dos seres humanos desde o seu nascimento. E ele afirmava que um ser humano, por exemplo, nasce com estruturas adaptadas ao recebimento de informações, onde essas estruturas se organizam de forma a estruturar outras informações mais complexas, e sempre partindo de níveis de menor para os de maior complexidade da informação. Caramba, essas coisas tudo têm a ver umas com as outras, sempre tem alguma coisa simples estruturando outras mais complexas.

Fui.

A definição de consistência de um sistema axiomático é que nenhuma proposição dentro do sistema seja verdadeira e falsa ao mesmo tempo! É isso?

Se for, como é possível provar a consistência de um sistema axiomático?
Como podemos saber se todas as proposições possíveis do sistema ja foram feitas?

Uma forma de provar que uma axiomática é consistente é apresentar um modelo para ela (isto é, apresentar uma interpretação p/ linguagem da axiomática que satisfaz todas as sentenças nela). Outra forma é mostrar que a axiomática é deduzível de outro conjunto de sentenças que sabe-se ser consistente.

Mr. Enigma escreveu:apresentar uma interpretação p/ linguagem da axiomática que satisfaz todas as sentenças nela.

O problema tá justamente aí.
Não consigo entender como saber se todas as sentenças do sistema já foram feitas!!!

Não se esqueça que muitas das axiomáticas são finitas.

Mesmo quando a axiomática é infinita, em geral é possível mostrar que TODO axioma é satisfeito na interpretação. Por exemplo, é possível provar que TODO natural tem fatores primos, sem precisar fazer a prova para cada número em particular, certo? O espírito é o mesmo.

"Consistência" é um conceito sintático e, portanto, independente das noções de "verdade" e "falsidade". Uma teoria é consistente se não tiver teoremas contraditórios, o que na lógica clássica é o mesmo que haver uma fórmula que não é teorema.

Não entendi o que o Atomic Boy quis dizer com "como saber se todas as sentenças já foram feitas?"(!?).

Ao que Mr. Enigma já disse, acrescento o seguinte: no caso da lógica, a consistência é praticamente um corolário do teorema da correção.

Dá um exemplo de axiomática finita!!!

Quanto aos primos formando naturais, eu entendi!!! Mas como estender essa ideia para toda a geometria euclidiana por exemplo, como saber se todas as sentenças (Teoremas) que cabem ali já estão ali? (Geômetra, era isso que eu queria dizer). Desculpem se as perguntas são óbvias!!! (O que sei de lógica é muito pouco, se tiverem algum livro que esclareça essas questões por favor me indiquem!!!)

Atomic Boy escreveu:Dá um exemplo de axiomática finita!!!

PA2.

E tem o seguinte. Você só precisa checar se os axiomas são válidos no modelo e se as regras de inferência preservam validade. Isso é fácil de fazer.

Vocês concordam que a matemática, como nós a conhecemos hoje, é basicamente axiomas (convenções) e deduções lógicas sobre esses axiomas?
Outra questão, como ela é puramente convenção, a matemática é em essência artificial, sendo assim o universo objetivo nunca pode ser representado verdadeiramente por ela.

Existe uma infinidade de axiomáticas possíveis para a matemática atual, inclusive axiomática incompatíveis. A preferência por uma dentre outras é critério pessoal, assim, penso que, ao menos em parte, a matematica é convenção (O que não é surpreendente, dado as várias formas alternativas que a matemática assume em diferentes culturas e épocas históricas).

As teorias matemáticas não falam sobre objetos físicos. Mas tampouco as teorias físicas versam sobre objetos físicos. As teorias físicas versam sobre objetos MATEMÁTICOS (vetores de força, campos, funções posição x tempo etc., pra citar coisas óbvias) que REPRESENTAM abstratamente aspectos do mundo físico.

Creio que esses aspectos do mundo físico representados pela matemática são aspectos LÓGICOS. Pois, por exemplo, podemos mostrar logicamente que, dado dois predicados mutuamente exclusivos, se um contém 5 elementos e o outro 7, então a disjunção deles conterá 12 elementos. Isso é pura lógica, sem apelo a nenhuma axiomática para matemática. Só que fazer essa e outras contas (infinitamente mais avançadas) usando apenas lógica é trabalhosamente inviável na prática. A matemática inventa objetos fictícios (como os números) que permitem as teorias físicas tirarem conclusões sobre o mundo de uma forma muito mais rápida e eficiente.

Então, é assim que penso que a matemática é uma convenção sobre a lógica com intuito de facilitar as deduções e os cálculos.