Ninguém pode provar nada a ninguém

O número 7 e o número 5 são convenções, a soma deles é uma convenção.
Eu falo que os axiomas matemáticos são convenções, por causa dos paradoxos lógicos da teoria dos conjuntos. A base da teoria dos conjuntos é um axioma, porque sem esse axioma surgem o paradoxo de Russell e outras complicações...

Eu não falei que a matemática tem que representar o mundo "objetivo".
Mais eu estou falando que ela pode no máximo gerar um modelo que simula satisfatoriamente um aspecto da realidade. Sempre como convenção!

O critério de verdade ou não, não depende de uma convenção também?
Algo é falso ou verdadeiro dependendo das convenções estabelecidas para um determinado conjunto de coisas.

Mesmo que seja convencionada, o fato é que ela ajuda a descrever quase tudo que vivenciamos. Toda boa ciência busca na matemática argumentos para justificar suas conclusões e o mais interessante é que isso funciona na maioria dos casos.

As teorias matemáticas versam sobre objetos que ninguém nunca viu na vida, à semelhança dos mitos, dos contos de fada etc.. Isso por si já é uma razão pra desconfiar que a matemática seja, em princípio, uma convenção.

O contra-argumento óbvio a essa posição é que a matemática nos permitiu milhares de outras conquistas tecnológicas. Os mitos não operam tais milagres. Essa é uma razão para acreditar que a matemática seja mais que um mito.

Minha opinião sobre o assunto eu explico por uma analogia: Existe a programação procedural, que usa apenas procedimentos, e existe a programação orientada a objeto (POO), que define classes, objetos etc. como entidades no programa. A POO tem uma série de vantagens em relação a programação apenas procedural, como um código mais inteligível, mais reaproveitável, mais maleável, melhor depurável etc.

Nesse sentido, creio que os objetos matemáticos tenham valor apenas computacional, mas não existencial, assim como os objetos que um programador de POO inventa ao criar seu código. Esses objetos ficitícios agilizam a dedução das relações quantitativas entre os objetos do dia a dia, tal como a Programação Orientada a Objeto torna mais eficiente a computação de vários problemas.

Acho que convenções são necessárias e não vejo nenhum mal nisso. As leis de um país também são convenções, o problema é que essa convenção não é algo individual, as leis de um país só são válidas, só são leis, se forem respeitadas pelos seus cidadãos.

A mesma coisa acontece na matemática. A convenção não é apenas uma escolha pessoal, é coletiva. A matemática é uma ciência/linguagem/coisa humana e por ser humana é necessário que concordemos em algumas coisas que não são acessíveis a descrição/percepção da mente.

Por que ninguém discordou da lógica? Convenção + lógica! Quem pode dizer que a lógica é algo mais substancial que uma convenção.

Como entender uma lógica se não conhecer seus simbolos (convenção), como entender uma lógica sem entender seus significados (convenção)?

O teorema de Godel implica na impossibilidade da matemática e da lógica fundamentarem a si mesmas por meio de suas regras?

Portanto toda teoria da realidade baseada na lógica só pode ser válida se a lógica for válida, como esta não pode ser demonstrada por meio dela própria lógica, ela se torna uma questão de crença?

Ou sempre seria necessário um recurso ulterior?

A lógica é completa e é possível provar todas a fórmulas válidas a partir de uns poucos axiomas.

De fato, bastam dois esquemas de axiomas e duas regras para derivar todas as fórmulas válidas em primeira ordem. A completude da lógica é a tese de doutorado do próprio Gödel (pra um sistema com seis axiomas e quatro regras).

Isso é uma questão técnica resolvida tecnicamente. Não tem nada a ver com "crença", "verdade absoluta", "linguagem universal" ou "incompletude na ciência".

As pessoas confundem o sentido técnico das expressões "completo/incompleto" com o sentido do dicionário, tomando "completo" como sinônimo de "total" ou "abrangente". E inferem da incompletude (no sentido técnico) de um sistema particular para a aritmética que a ciência, como um todo, por conter matemática, jamais poderá ser completa (significando "jamais poderemos ter um conhecimento total das coisas"). Esta última afirmação pode ser verdadeira, mas não tem nada a ver com Gödel. Para a própria aritmética existem sistemas completos, como BA ou um sistema comum para a teoria dos números que assuma indução até epsilon-0, em vez da mera indução finita (isso é um teorema de Gentzen).

Infelizmente, muita gente cita Gödel a torto e a direito sem ter a menor noção sobre o que está falando. Na verdade, sem nem mesmo saber o que significam (no sentido técnico) as expressões "completo" e "incompleto".

Pelo que eu estudei do Teorema de Godel (TC), ele diz que qualquer sistema lógico que apresenta um mínimo de regras lógicas como a aritmética então segue que neste sistema haverá sempre proposições verdadeiras que não poderão ser provadas.

Isto é, haverá teoremas que não se pode provar, com o uso dos axiomas do próprio sistema, que são verdadeiros, embora SEJAM.

Assim podemos tentar aplicar o teorema à PRÓPRIA LÓGICA e dizer que há proposições lógicas que não podem ser demostradas.

Quais são elas? Não sei. Mas devem existir.

A incompletude vem deste fato: Não se pode demonstrar TUDO dentro do sistema pois sempre haverá verdades que não se pode demonstrar, daí o termo incompletude.

Eu entendo assim.

Infinito escreveu:Portanto toda teoria da realidade baseada na lógica só pode ser válida se a lógica for válida, como esta não pode ser demonstrada por meio dela própria lógica, ela se torna uma questão de crença?

Creio que seja uma questão de crença sim.

Porém, parece-me que a crença de que a realidade se pauta na lógica é indispensável para todo e qualquer exercício filosófico.

Seria impossível filosofar sobre algo que não seja lógico, pois nesse caso não haveria nenhuma certeza, nem mesmo a respeito de conclusões obtidas de inferências logicamente corretas a partir de premissas verdadeiras, o que tornaria todo e qualquer esforço filosófico inteiramente inútil.

Se a realidade não for inteiramente lógica, isto significa que somente podemos filosofar em cima dos aspectos lógicos da realidade, que constituiriam uma visão restrita da realidade.

A questão sobre se uma visão restrita à lógica abrange toda a realidade (ou se existem coisas que ficariam de fora) me parece ser uma questão logicamente infalseável, uma vez que não se pode inferir nenhuma conclusão segura a respeito do que, por definição, não segue a lógica.

Resumo da ópera: ou acreditamos que a realidade seja lógica, ou então seria melhor desistirmos de pensar.