Curiosidades Matemáticas

Geômetra escreveu:
O simples fato de Pi não poder ser escrito na forma P/Q o torna irracional.

Qual é a prova que Pi não pode ser escrito em forma de P/Q?

Pesquise sobre a história dos estudos que levaram à aproximação do valor de Pi. Ele é classificado como um número transcendental, que seria um número irracional que não pode ser escrito de forma algébrica, assim como o número de Euler. Arquimedes e Ptolomeu conseguiram boas aproximações do Pi.

E o que prova que o número Pi não pode ser escrito na forma de uma fração é que mesmo depois de dois milênios sendo estudado, ninguém jamais conseguiu defini-lo como uma fração exata; ele sempre é definido como uma aproximação de determinada fração. Aliás, olha isso:

Você sabe quantas casas decimais do número Pi foram conhecidas até o final do séc. XX?

Foram conhecidas 51539600000 casas decimais de Pi, calculadas por Y. Kamada e D. Takahashi, da Universidade de Tokio em 1997. Em 21/8/1998 foi calculada pelo projeto Pihex a 5000000000000a. casa binária de Pi.

E isso em quase dois milênios de estudo desse valor.

Geômetra escreveu:
E o que prova que o número Pi não pode ser escrito na forma de uma fração é que mesmo depois de dois milênios sendo estudado, ninguém jamais conseguiu defini-lo como uma fração exata; ele sempre é definido como uma aproximação de determinada fração.

Não conhecemos todas as suas casa para poder afirma isso. Quem disse que depois de mais dois milênios de estudo não vamos conseguir defini-lo em forma de uma fração? Ainda não sabemos o que vem depois da X000000000000ª casa binária de Pi.

Fato é que pi é igual a uma soma de números racionais: (4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11...)

Então faça um estudo você mesmo, ache um número de casas maior, prove que existe uma periodicidade nesse número, escreva o Pi como uma fração exata, envie seus estudos às sociedades de matemática espalhadas pelo mundo para que comprovem o que você escreveu, ganhe a Medalha Fields e seja o inaugurador da categoria "Matemática" do prêmio Nobel.

Pelas definições matemática existentes, Pi é um número irracional, e nenhum matemático discordaria disso.

E essa soma termina onde, amigo? No infinito?

Geômetra escreveu:Então faça um estudo você mesmo, ache um número de casas maior, prove que existe uma periodicidade nesse número,

Mas eu não quero provar que ele é racional, estou comprovando que ele não pode ser chamado de irracional. O termo mais correto pra ele seria "periodicidade indefinida".

Pelas definições matemática existentes, Pi é um número irracional, e nenhum matemático discordaria disso.

Mas ninguém comprovou que seja ainda.

Geômetra escreveu:E essa soma termina onde, amigo? No infinito?

Sim, igual a do número racional 1,111111111 que vale a soma infinita: (1/1 +1/10 + 1/100 + 1/1000...) e que vale a fração = 10/9.

Infinito, pesquise o conceito de número irracional transcendental.

Pesquisei antes de lançar essa questão. Por isso que eu lancei ela.

Como foi dito acima, Pi não é um número racional por não poder ser escrito sob forma de uma razão a/b.

A definição inicial proveio do cálculo do perímetro de uma circunferência: S = 2 x PI x R, assim: PI = S/R. Não é possível uma circuferência perfeita possuir S e R ao mesmo tempo como números racionais.

Posteriormente descobriu-se que PI pode ser calculado como uma soma infinita (numa integral e não numa dízima periódica). Portanto se a área de um semicírculo é metade de PI x R² então calculando isso sob forma de integral sob a função y² + x² = R (de -R a +R) vai de novo dar resultados dependentes de seno e cosseno (cujos valores também são irracionais).

Uma maneira muito mais fácil de chegar à conclusão da irracionalidade de PI é antes entender que a diagonal de um quadrado de lado 1 é um número irracional. Se isso for entendido para todos os tamanhos de quadrado, o mesmo raciocínio pode ser estendido pra circunferência.

Mr. Enigma escreveu:Como foi dito acima, Pi não é um número racional por não poder ser escrito sob forma de uma razão a/b.

Não há como se provar isso com o que se conhece de pi. Isso só seria possível a alguém que conhece 100% de pi. A gente não conhece nem 0,00000000000000000000000000001% pois é um número infinito.

Não é possível uma circuferência perfeita possuir S e R ao mesmo tempo como números racionais.

Por que não? Não há provas disso.

Posteriormente descobriu-se que PI pode ser calculado como uma soma infinita (numa integral e não numa dízima periódica). Portanto se a área de um semicírculo é metade de PI x R² então calculando isso sob forma de integral sob a função y² + x² = R (de -R a +R) vai de novo dar resultados dependentes de seno e cosseno (cujos valores também são irracionais).

Pode ser calculado também por uma soma de racionais, dá uma lida no post que postei mais acima.

Uma maneira muito mais fácil de chegar à conclusão da irracionalidade de PI é antes entender que a diagonal de um quadrado de lado 1 é um número irracional. Se isso for entendido para todos os tamanhos de quadrado, o mesmo raciocínio pode ser estendido pra circunferência.

Não há provas da irracionalidade da raíz de 2 também não. Entra no mesmo caso de pi.

Infinito escreveu:

Uma maneira muito mais fácil de chegar à conclusão da irracionalidade de PI é antes entender que a diagonal de um quadrado de lado 1 é um número irracional. Se isso for entendido para todos os tamanhos de quadrado, o mesmo raciocínio pode ser estendido pra circunferência.

Não há provas da irracionalidade da raíz de 2 também não. Entra no mesmo caso de pi.

Eis a dita cuja:

É claro que a Matemática prova que π é irracional.

Esta prova foi dada como conclusiva em 1761 pelo matemático alemão Johann Lambert, que usou uma fração contínua para a tangente trigonométrica de um ângulo que mostra conclusivamente que π é irracional.
E é claro que esta prova não cabe aqui, não pelo tamanho, mas pelos símbolos matemáticos e geométricos usados na prova.

Uma prova por absurdo é dada nesta página:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_da_irracionalidade_de_%CF%80

Para a exata compreensão desta prova é necessário saber os conceitos de derivada, integral e sequência de funções.

Infelizmente você não encontrará uma prova elementar da irracionalidade de π.
É, de fato, uma destas coisas que deixam o matemático cabreiro!

Seja a equação do segundo grau

Ax² + Bx + C = 0

com A, B e C conhecidos. Quais e quantos são os X que satisfazem essa equação, se A, B, C, 0 e X forem matrizes quadradas de ordem n?

Ex (n=2):
!a11 a12! !X X! !X X!+ !b11 b12! !X X! + !c11 c12! = !0 0!
!a21 a22! !X X! !X X!....!b21 b22! !X X!......!c21 c22! !0 0!
:.
!a11 a12! !2X² 2X²! + !b11 b12! !X X! + !c11 c12! = !0 0!
!a21 a22! !2X² 2X²!.....!b21 b22! !X X!.....!c21 c22!..... !0 0!
:.
!2X²*(a11+a12) 2X²*(a11+a12)!. + !X*(b11+b12) X*(b11+b12)!
!2X²*(a21+a22) 2X²*(a21+a22)! !X*(b21+b22) X*(b21+b22)!
+
!c11 c12! = !0 0!
!c21 c22! !0 0!
:.(finalmente)
!2X²*(a11+a12)+X*(b11+b12)+c11 2X²*(a11+a12)+X*(b11+b12)+c12! = !0 0!
!2X²*(a21+a22)+X*(b21+b22)+c21 2X²*(a21+a22)+X*(b21+b22)+c22! !0 0!


Para n=3 temos:

!a11 a12 a13! !3X² 3X² 3X²! + !b11 b12 b13! !X X X! !c11 c12 c13!
!a21 a22 a23! !3X² 3X² 3X²! + !b21 b22 b23!*!X X X! +!c21 c22 c23! = 0
!a31 a32 a33! !3X² 3X² 3X²! + !b31 b32 b33! !X X X! !c31 c32 c33!
:.
!3X²(a11+a12+a13) 3X²(a11+a12+a13) 3X²(a11+a12+a13)!
!3X²(a21+a22+a23) 3X²(a21+a22+a23) 3X²(a21+a22+a23)! + (cansei...)
!3X²(a31+a32+a33) 3X²(a31+a32+a33) 3X²(a31+a32+a33)!

E por assim vai...

Se delta>0, temos 2 raízes reais distintas
Se delta= 0, temos 1 raiz dupla
Se delta<0, temos 2 raízes complexas

Ou seja, cada equação pode ter no mínimo um X e no máximo dois X.

Para responder a pergunta de QUANTOS X satisfazem a equação podemos pensar assim:

Como eu consigo o numero máximo de X?

Simples, se a soma de alguma linha das matrizes de A e de B forem zero: Ex a1x=0 (a11+a12+a13... =0) e b1x=0(b11+b12+b13...=0). Acontece que nas equações internas qualquer X serve se a e b forem zero (A.X² + B.X + C = 0). Ou seja, o numero de X máximo é infinito.

Qual é o número mínimo de X?

Como as matrizes são quadradas, haveriam n² equações e o menor número de soluções por equação é 1. Logo 1*n²=n². O número mínimo de X é n².

Resposta final: Quantos X satisfazem a eq?

O número de X que satisfazem a eq. está no intervalo de [n², infinito[

Final de contas...
Alguém tem o gabarito?

Curva de Gauss, alguém consegue explicar de uma forma bem mastigadinha?
Eu sei assim meio mais ou menos.

Também chamada de Curva Normal.

A curva de Gauss (a curva em forma de sino) é definida através de uma função exponencial.

Estava Gauss envolvido com equações de mínimos quadrados quando se viu interessado no estudo da Teoria de Erros.

Em "Disquisitiones generales circa superficies curva" (1828), Gauss, intuindo uma geometria, desenvolveu uma equação que se adequasse às suas expectativas. Mas foi em "Theoria motus" que Gauss desenvolve a sua função:

φ(x) = [h exp(-h²x²)] / √x

O gráfico de φ(x) assemelha-se a um sino e às vezes é chamado uma curva em forma de sino. Se o coeficiente da precisão é grande, então a curva é íngreme e as observações caem próximo da média aritmética. Mas se for pequena, a curva é plana, isto é, a distribuição é mais generalizada.
Mais tarde sua teoria seria tomada para estudar as distribuições normais.

Um interessante uso da Distribuição Normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande.

Existem diversas distribuições de probabilidade e muitas recaem na curva de Gauss, de uma forma ou de outra. Daí sua importância no estudo da Estatística.

Utilizado muito em estudos estatísticos.
Digamos que você esteja estudando a probabilidade de um fenômeno acontecer e utiliza a equação gaussiana para analisar a sua distribuição normal.
A forma da curva é de um sino, onde a reta x descreve a porcentagem crescente (0-100%). Valores próximos de 0 e de 100 tem probabilidade baixa de ocorrer, pois assim a curva o descreve.
Por exemplo: qual a probabilidade de dar os números 1, 2, 3, 4, 5, 6 na mega-sena? Você poderá ver que este conjunto se encontra na extremidade da curva gaussiana, ou seja, muito mais próximo de zero que um conjunto do tipo 1, 2, 7, 10, 25, 50.

É verdade que a sequência {1,2,3,4,5,6} tem menor probabilidade de ser sorteada que outra qualquer sequência aleatória num jogo.

Aliás, toda sequência deste tipo tem menor probabilidade de ser sorteada num jogo. Isso porque existem apenas 55 sequências a serem sorteadas que satisfazem esta condição, mas o número total de sequências possíveis é bem maior, na casa dos milhões.

E não importa a ordem que se escolham os números no sorteio.

"Pequenas" correções:

Onde o Atomic Boy disse
"φ(x) = [h exp(-h²x²)] / √x"
Leia-se
"φ(x) = [h exp(-h²x²)] / √π"

Onde o Mr. Enigma disse
"a reta x descreve a porcentagem crescente (0-100%)"
entenda-se
"os valores de φ(x) descrevem um valor de porcentagem (0-100%)"

E esqueça o exemplo dado pelo Mr. Enigma, uma vez que uma sequência de 6 números naturais não pode ser uma bijeção de R (conjunto dos números reais).

Propriedades da curva de Gauss:

1) A Transformada de Fourier de uma curva de Gauss é proporcional a outra curva de Gauss (tentem demonstrar).
2) O produto de duas curvas de Gauss (ou o produto de duas das funções que resultam nas curvas de Gauss) é proporcional a outra curva de Gauss.
3) Seja r² = x² + y². Se φ(x) e φ(y) forem curvas de Gauss, φ(r) = φ(x).φ(y) também será, desde que a média seja nula em todas as φ.
4) No limite em que a quantidade de variáveis aleatórias independentes tende a infinito, a distribuição de probabilidades da soma dessas variáveis é dada por uma curva de Gauss (use as (1), (2) e (3) para demonstrar esta).