Curiosidades Matemáticas

Entendi o meu erro.

De fato, não há uma assimetria, o correto é

...998,999 = ...999
enquanto
-...998,999... = -...999

As ambiguidades são simétricas em relação ao zero.

Entenda que ...999 não é um número infinito de noves. Mas um número arbitrariamente grande de noves.

O primeiro 9 à esquerda, existe, enquanto o último 9 à direita não existe.

Assim, a representação mais adequada seria:

999...999,999... = 100...000

enquanto

-999...999,999... = -100...000

Se ...999 é um número grande de noves (não arbitrário, i.e., finito), digamos "n" noves, então utiliza-se as operações triviais para números reais.

De fato, quando não existe o primeiro algarismo à esquerda da vírgula, estamos representando um infinito. Parece não fazer sentido dizermos que ...999 > ...888.

Enquanto do lado direito da vírgula, não existindo o último algarismo, faz sentido dizermos que 0,999... > 0,888...

De fato, pois 0,999... e 0,888... pertencem aos Reais enquanto que ...999 e ...888 não pertencem aos Reais.

Em matemática:

0,999... não é igual a 1
1,999... não é igual a 2
2,999... não é igual a 3

Esses valores tendem a suas aproximações por variações infinitesimais.

1 - 0,999... = 0,00...01 -> 1 - 0,00...01 = 0,999...

2 - 1,999... = 0,00...01 -> 2 - 0,00...01 = 1,999...

3 - 2,999... = 0,00...01 -> 3 - 0,00...01 = 2,999...

Pelas regras de limite, definimos 0,00...01 = b (ou um dx qualquer) como

lim (b->0) de (1 - b) = 1
(e assim por diante)

Por isso arredondamos 0,999... a 1; 1,999... a 2 e etc, pois b tende a zero (ou um infinitésimo).

Vale lembrar que por mais inexpressivo que um dx (número infinitesimal) pareça, o somatório de infinitos valores infinitesimais, dentro de um limite pré-estabelecido (ou integral de "a" a "b"), confere como resultado um valor (número) real.

O mesmo vale para:
999...999,999... = infinito

Definimos como sendo um valor qualquer "d" e tendemos esse valor ao infinito.

Lim(d->infinito) de (d) = infinito

Esses assuntos são pertencentes ao estudo básico do Cálculo infinitesimal (diferencial e integral) que foram completamente elucidados e publicados (haviam alguns estudos básicos anteriores), no século XVII, por Sir Isaac Newton.

O Cálculo é um dos pilares matemáticos essenciais (assim como a álgebra) para o estudo da Física (da básica a avançada) e também da Química.

Nas experimentações científicas, as aproximações seguem regras pré-estabelecidas pela escala e experimento (sensibilidade do aparelho e incerteza na medida) em que você trabalha.

Geralmente são quatro (4) algarismos significativos, exemplo:
0,0004325 m
0,01024 mol
1,234 C

Seguindo a regra de arredondamento, se houverem mais de 4 algarismos significativos,

1) Primeiro arredonda-se o último algarismo excedente para um número par acima, se ele for ímpar (se for par, pule essa etapa)

1,234345 = 1,234346

2) Remove-se o último algarismo arredondando o anterior
-para cima, se o último for maior que 5
-para baixo, se o último for menor que 5

1,234346 = 1,23435 (pois 6 > que 5)

3) Repete "1)" (se necessário)

1,23435 = 1,23436

4) Repete "2)"

1,23436 = 1,2344

5) Repete "1)" (se necessário)

1,2344 = 1,2344 (agora não precisou mudar nada)

6) Repete "2)"

1,2344 = 1,234 (pois 4 < 5)

Agora temos 4 algarismos significativos.

Conclusão:

O número 0,999... tende a 1.

Ou seja, pode não ser exatamente um, mas como está muitíssimo perto, esse número tende a um. É como a divisão de um algarismo por zero (1/0), que tende ao infinito. A divisão por 0,999... também tende a um. O argumento final de comprovação diz que 0,999...=1, no entanto, sempre existirá um pentelhésimo que seja de unidade, independente de quantos termos tomarmos para que seja exatamente 1. Ou seja, tende a 1, por isso pode ser considerado igual a 1.

0,999... = 1
Tanto quando dx = 0

Opa, falei merda por distração num detalhe.

O número 0,999... já é o resultado de um limite. Ele não é uma sequência. É o resultado de um limite.

Entre 0,999... e 1 não existe nem um número. Nem um.

Definição: 0,999... = lim_{n -> infinito } a_n

onde a_n = soma_{i =1 até n} 9/10^i

a sequência a_1, a_2, ... converge pra 1 quando n tende a infinito. Isso é bem diferente de dizer que 0,999... tende a um. Ele não tende a um, ele é um resultado de um limite.

A questão é a notação.

0,999...9 é bem diferente de 0,999...

Gosto desta aqui...

x = 0,999...
10x = 9,999...

10x - x = 9,999... - 0,999...
9x = 9

x = 1

Só para reforçar

Do lado esquerdo da vírgula, também há uma diferença fundamental entre:

9...999 e ...999

9...999 pode ser tão grande quanto desejarmos, no entanto, sempre será finito e real, enquanto ...999 não é um número finito nem real.

Como seria então a representação correta de um número inteiro arbitrariamente grande, porém finito?

A sequenciá seria:

9
99
999
9999
99999

Embora possamos aumentar o número de dígitos, ele sempre terá um número finito de dígitos. Sabemos que existe o primeiro e o último dígito.

No caso do 1,111... basta acharmos a geratriz da dízima e elevá la ao quadrado.

x = 1,111...
10x = 11,111...
10x - x = 10
x = 10/9 x^2 = 100/81 = 1,2345678901234567890...

Mas, a representação 999...999 sempre será um número inteiro. Enquanto ...999 não é um número inteiro, é um infinito.

Então, vamos voltar aos reais...

999...999,999... sempre será real.

Pelo que eu entendi você define como inteiro o número 999...999 que é formado por finitos noves. Ou seja, a vírgula estaria depois do último nove, denotando como um número real teríamos: 999...999,0000000000...
Em outras palavras, 999...999 significa que é um número inteiro e existem n (finito) noves no lugar dos três pontinhos. Exemplo
n=5, então 99999999999
n=6, então 999999999999
e assim por diante.
Acho que é só uma questão de definição.

Nesta conversa percebi um "macete" para distinguir um infinito de um número arbitrariamente grande.

Um infinito não possui o primeiro algarismo mais significativo, enquanto um número arbitrariamente grande o possui.

Não entendi, pode dar um exemplo?

Para mim é o seguinte: se o número tem finitos dígitos antes da vírgula, então ele é finito. Se tem infinitos dígitos antes da vírgula, então ele é infinito.

Composição de um número real: (finitos dígitos), (infinitos ou finitos dígitos)
Composição de um "número" não real infinito: (infinitos dígitos), (infinitos ou finitos dígitos)

Seria como um cordão com duas pontas. Ele sempre terá um número finito de metros. No entanto, ele sempre poderá ter mais um metro e continuar tendo duas pontas.

Um cordão "infinito" não teria pontas definidas.

Também podemos observar a diferença entre a representação definida e a representação indefinida do lado direito da vírgula.

Assim,

0,999... = 1 (não existe o último 9 depois da vírgula)

Enquanto

0,999...999 < 1 (existe o último 9 depois da vírgula)

Assim, assumindo uma representação definida do lado esquerdo da vírgula, e uma representação indefinida do lado direito, a ambiguidade numérica não será limitada.

enquanto
...999,999... não pode ser igualado a um número por ser um infinito,

999...999,999... = 1000...000

e

-999...999,999... = -1000...000

No caso de adotarmos a representação definida em ambos os lados da vírgula, a ambiguidade numérica deixa de existir.

999...999,999...999 < 1000...000

Coisas limitadas superior e inferiormente, não podem ser consideradas infinitas. No entanto, qualquer coisa limitada pode ter o seu limite superior sempre expandido.