Curiosidades Matemáticas

Alquimista escreveu:
O matemático britânico G. H. Hardy, quando visitou o gênio hindu da matemática, Srinivasa Ramanujan, disse a ele que havia chegado num táxi cuja chapa continha um número deveras insignificante, 1729.

''Na verdade é um número bem interessante!'', observou Ramanujan. ''É o menor número inteiro que pode ser expresso como a soma de dois cubos, de dois modos diferentes.'' E ele estava certo! Pois:

1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³

Srinivasa Ramanujan, nasceu em Kumbakonam em 1888.

De origem pobre, foi descoberto por Godfrey J, Hardy, matemático inglês que ao reconhecer o seu talento extraordinário levou-o para Cambridge.

Autodidata, ele desenvolveu cálculos incompreensíveis para uma pessoa normal. Morreu aos 32 anos de idade em 1920 deixando um vasto formulário com mais de 4000 fórmulas que até hoje desafiam os matemáticos a provar a sua veracidade (ou não).

Uma delas mostra que "e" elevado a "pi" vezes raiz quadrada de 163 é um inteiro!

e igual a 262 537 412 640 768 744 !

O número na verdade é: 262 537 412 640 768 743,999999999999999.....

Conseguiram computar até 2 milhões de casas decimais com a ajuda de um computador.

Mas ele não dispunha de computador... ninguém sabe como ele chegou a tal conclusão!

Aos 10 anos Gauss já mostrava seu talento precoce.

Vejam esse exemplo:

"Um rígido professor, pedira aos alunos que somassem a sequência de todos os números de 1 a 100. 1+2+3+...+98+99+100. À medida que terminassem o exercício, os alunos deveriam se dirigir até a lousa para escrever os resultados obtidos. Gauss, em poucos segundos resolveu o problema. Se dirigiu à lousa e escreveu o resultado:

5050

O professor ficou assustado e chegou a pensar que o aluno teria chutado e pediu que mostrasse como chegou ao resultado tão rapidamente.

Observe que, somando os extremos 1 +100, 2+99, 3+98 e assim por diante, teremos como resultado 101. Como estamos pegando os números de dois em dois, ou seja, em pares, logo percebemos que entre 1 e 100 existem 50 pares. 50 x 101 = 5050.

Desde então o estudo das Progressões Aritméticas ganhou uma nova forma de tratamento."

Outro matemático fodão:

Évariste Galois, criador da Teoria dos Grupos, um novo ramo da álgebra, teria produzido muito mais se não tivesse morrido num duelo aos 21 anos de idade.

Uma vez eu li sobre a característica do número 9, que somado a outros números repete o resultado.

Ex: 4+9 =13, logo 1+3 =4. 13+9 = 22, logo 2+2 =4 e assim sucessivamente.

Ex. B: 8+9 =17, logo 1+7 =8. As outras somas com 9, 26, 35, 44, 53, até o infinito, repetem o resultado 8.

E a sensação de mistério invade-me a alma!

É porque somar 9 é equivalente a somar uma dezena e subtrair uma unidade, por isso a soma do dígito das dezenas com o dígito das unidades se mantém.

Mas isso não ocorre "até o infinito"... vai ocorrer somente até o dígito das unidades zerar, por exemplo, a soma 8 se preserva em 9, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80... a partir daí teríamos 89 e 98, que violam a "regra".

Enfim, as próprias definições do sistema decimal de numeração e da operação de adição produzirão essas consequências que lhe chamam a atenção.

Marley escreveu:
Mas isso não ocorre "até o infinito"... vai ocorrer somente até o dígito das unidades zerar, por exemplo, a soma 8 se preserva em 9, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80... a partir daí teríamos 89 e 98, que violam a "regra".

Violam a regra? Basta prosseguir na soma.
Ex: 89= 8+9= 17= 1+7= 8

Números maiores.
183671= 1+8+3+6+7+1= 26= 2+6= 8
183680= 1+8+3+6+8+0= 26= 2+6= 8

Ad infinitum

Nosso sistema de representação numérica é ambíguo, ou seja, um mesmo valor pode ser representado por símbolos diferentes.

Assim,

0,999... = 1
1,999... = 2
2,999... = 3
...
...
n + 0,999... = n+1

Até aqui, tudo bem. No entanto, algo intrigante ocorre quando n = ...999 . Aparentemente, a ambiguidade se extingue.

...999,999... = ???

Ora, se os números reais não têm limites, como representaríamos ...999 + 1 ?

...999,999... = ???

Bom, se você está representando o ...999 como o maior número possível, então ele representa o infinito. A definição de infinito é simples: não existe um número real que seja maior que ele. E é definido as seguintes operações:

1. infinito + c = infinito

2. c * infinito = infinito

3. infinito * infinito = infinito

Agora duas operações com infinitos geram problemas

4. infinito/infinito

5. infinito - infinito

Deixamos 4. e 5. como indefinidos.

Infinito é um símbolo que representa um número especial, ele não pertence à reta real, precisa definir uma reta estendida.

R = reta real

R União {-infinito, infinito} = reta estendida.

Se x pertence a R, então |x| (módulo de x) sempre será estritamente menor que infinito. O infinito serve apenas para representar isso, não existe número real maior ou igual a ele.

A operação 2. na verdade é assim

2. c * infinito = sinal (c) * infinito

Exemplo, se c > 0 então

c * infinito = infinito

Se c < 0 então

c * infinito = -infinito

Existem definições para se fazer operações com o infinito, ele é um quase-número.

O infinito não é todo esse bicho que o pessoal sonha. Ele é muito utilizado em situações práticas. Se quiser exemplos, eu posso descrever alguns.

Então, vamos olhar pelo outro lado...

-...999,999... = -...998

O "menor" número negativo admite ambiguidade, enquanto o "maior" número positivo não admite. Que estranha assimetria é esta?

Você não vai conseguir escrever o maior número possível. Se na sua definição o símbolo "...999" é o infinito e o símbolo "-...999" o -infinito, então

-...999,999... = - (...999 + 0,999... ) = - (infinito + 1) = - infinito = - ...999

Agora se o símbolo ...999 não é o infinito, então ele é um número real e todas as operações são as mesmas das usuais. Mas você precisa definir o que seria "..."

Veja:

-...999,999... = - (...999 + 0,999... ) = - (...999 + 1 )

Se os três pontinhos significa infinitos noves, então ele já não é mais um número real. Ter infinitos números após a vírgula é diferente de ter infinitos números antes da vírgula. Quando se coloca infinitos números antes da vírgula você está fugindo dos números reais. Se "..." antes do 999 significa infinitos noves, temos:

...999 = 9 + 9*10 + 9*10^2 + 9*10^3 + 9*10^4 + ...

Os três pontinhos do lado direito da igualdade significa: continue a soma de forma indefinida.

Então, ...999 = 9 * (1 + 10 + 10^2 + 10^3 + 10^4 + ...)

Obviamente a soma (1 + 10 + 10^2 + 10^3 + 10^4 + ...) diverge e vai dar infinito. Então, se "..." antes do 999 significa infinitos noves, você deve tratar "...999" como se fosse o símbolo infinito.

Agora supondo que os "..." antes do 999 seja um número qualquer X

Temos -X999,999... = -( X999 + 0,999...) = - (X999 + 1) = - (X+1)000


Exemplo: X=89, então X999 = 89999 e -...999,999... = -89999,999... = -90000

Espero ter ajudado.

Abraços!

PS: Os problemas ocorrem quando as pessoas jogam as coisas sem definir e querem concluir em cima de símbolos mal definidos.

O problema reside em dizer que todos os infinitos são iguais, o que leva a afirmações absurdas.

Eu desconheço muito de operações matemáticas, mas o que seria um quase-número?

Se o infinito puder ser representado numericamente, ele passa a ser limitado, ou não?

sombriobyte escreveu:
O problema reside em dizer que todos os infinitos são iguais, o que leva a afirmações absurdas.

Depende, temos infinitos números no conjunto dos reais. Temos infinitos números nos inteiros também. Mas o número de elementos que o conjunto dos reais tem é de longe muito maior que o número de elementos dos inteiros. Existem operações, símbolos e notações bem definidas para lidar com esse tipo de problema.

O problema, como já disse, é discutir em cima de coisas mal definidas. É somente masturbação mental.

sombriobyte escreveu:
Eu desconheço muito de operações matemáticas, mas o que seria um quase-número?

Se o infinito puder ser representado numericamente, ele passa a ser limitado, ou não?

O infinito é um símbolo que significa: "não existe um número real maior ou igual a ele."

Ele é um quase-número porque podemos fazer operações com ele, mas tais operações tem resultados especiais (diferentes dos números usuais).

O termo "quase-número" eu inventei aqui pra dizer que ele não é um número, mas é quase um número.

Espero que leiam o que escrevi acima. Geralmente em tópicos como esse vem um doido e digita coisas como se não tivesse lido nenhuma explicação. Aí a discussão começa do zero e tende ao infinito (assunto recorrente esse do infinito, não? rsrsrs).

Recapitulando:

Se você define uma coisa que tem infinitos números antes da vírgula, Exemplo:

...xyz onde "..." significa infinitos números. Então ele NÃO será um número real. Espero que isso fique claro.

Prova:

Para simplificar, vou chamar de a1, a2, a3, a4 (e assim por diante) os números reais que irão fazer parte no nosso número com infinitos dígitos.

Assim ...a4a3a2a1 seria nosso número, suponha que seja positivo por simplicidade.

Ele pode ser escrito como ...a4a3a2a1 = a1 + a2 * 10^2 + a3*10^3 + a4*10^4 + ...

Seja k um número inteiro positivo tal que k = mínimo{a1, a2, a3, a4, ...} Então,

...a4a3a2a1 = a1 + a2 * 10^2 + a3*10^3 + a4*10^4 + ...
...a4a3a2a1 >= k *(1 + 10^2 +10^3 + 10^4 + ...)

(>= significa maior ou igual). Como a soma (1 + 10^2 +10^3 + 10^4 + ...) diverge, temos que ...a4a3a2a1 >= infinito. Por definição, infinito é o supremo da reta estendida, então não existe nada acima dele. Portanto,

...a4a3a2a1 = infinito.

Então, qualquer operação que se faça com números com infinitos dígitos deve ser utilizada as operações especiais para o símbolo infinito. Caso contrário, você terá resultados estranhos, incoerentes e contraditórios.

Novamente:

-...999,999... Não é -...998

Perceba que -...999,999... = - (...999 + 0,999... ) = - (...999 + 1 )

Não tem sentido ser igual a -...998. A não ser que agora você esteja redefinindo o número 1 como sendo - 1. Mesmo se tivesse redefinindo o número um, você deve utilizar as operações para infinitos positivos e negativos.

Note que -...999 = - infinito, e como já foi dito acima: -infinito + qualquer coisa finita é igual a -infinito.

...999 ou ...xyz (onde x, y e x são número inteiros) é a mesma coisa que o símbolo infinito. Qualquer operação em cima destes "números" deve ser a operação especial definida para o símbolo infinito.

Espero realmente que releia com cuidado o que eu escrevi, vai ajudar a entender essas coisas.

Abraços.

Pra finalizar:

OBS: Para qualquer x, y e z inteiros positivos

...999 = ...111 = ...888 = ...333 = ...xxx = ...xyz = infinito

-...999 = -...111 = - ...888 = -...333 = -...xxx = -...xyz = -infinito

Como já foi devidamente demostrado em um dos posts anteriores.

Ou seja, ...999 ou ...111 ou ...888 ou ...333 ou ...xxx ou ...xyz não são números reais. Você precisa de operações especial para somar, multiplicar, dividir etc. É necessário entender isso, porém não é suficiente.