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Re: Curiosidades Matemáticas
por Simão, o Mago 5/5/2023, 02:49
Geometria Sagrada - √2
Raiz do Quadrado
A causa sempre manifesta o efeito, assim este quadrado não pode ser separado do seu efeito, como no mundo natural as formas geométricas manifestam todo o sistema biológico, químico, arquitetônico, formas se encontram-se em sua continua expansão, e sua constituição como o quadrado acima, manifesta uma relação natural e inseparável a causa e efeito. A causa somente existe se haver um efeito, é o efeito só existe se ocorre uma causa, um verdadeiro ouroborus. Devemos contemplar a geometria em seu movimento de um ponto, bindu e avançando ao traço, bidimensão, tridimensão .... do abstrato à forma e volume.
A relação geométricas são as mesmas relações da natureza. A divisão infinita da relação da raiz e diagonal.
Raiz / Diagonal : Diagonal / Raiz
Na relação de 1:2::2:4::4:8::16::32::64
Esta relação é a mesma do modelo de crescimento por cisão celular dos organismos vivos, não apenas o numero, como à forma, proliferação, divisão de uma unidade.
A raiz geométrica como das plantas, são causadas pelo interior do quadrado é a outra no interior da terra. A raiz da planta dividi os densos componentes minerais do solo, em compostos que a planta possa se alimentar, a raiz do quadrado se divide.
Quando a raiz destrói os compostos do solo para avançar e se multiplicar progressivamente partindo da ruptura. Nossas teorias não podem explicar o porque a planta consegue se multiplicar a partir de si, é o quadrado também o pode a partir do outro.
As funções de raiz são o principio transformador que sustenta a propensão inspiradora da vida, da natureza.
As raízes crescem em constante divisão de sua forma quadrada, o poder de uma raiz e tal, que as arvores alcançam até 30 metros de profundidade para alcançar a água necessária ao seu sustento, e pequenas moitas que estamos acostumados a ver, podem algumas espécies conter mais de 1 bilhão de raízes, que juntas podem chegar à 560 quilômetros.
A raiz é um símbolo da lei do sacrifício na natureza, pois ela cresce não em beneficio próprio, mais do todo para sustentar a planta em seu caminho em direção a luz.
Em nosso corpo ela se manifesta nos intestinos, que é onde se transforma as substancias em energia. Os raios, trovoadas que cortam os céus, manifestam pura transformação energética e física em algumas substancias manifestando o circulo da vida em todos os sentidos. O raio, trovão é a raiz do céu, pois transforma o carbono e nitrogênio em compostos assimiláveis pelas plantas.
“ Não temas o envelhecimento do corpo, já que é assim que o corpo procura a sua raiz. Procurar as raízes é voltar à fonte, e voltar à fonte é procurar o próprio destino. Procurar o próprio destino é nobreza e a nobreza está plena de valor, e valorosos são os que procuram realizar a meta espiritual além de todas as formas. Assim, procurar a raiz é perseguir essa meta. “ Lao-Tsé
Nossa raiz anatômica pela raiz de 2 (√2), este centro ficara abaixo do umbigo no ventre, tal figura medira 2-√2 a partir da palma do pé até o umbigo. Os ensinamentos zen, tantricos, nos ensinam que neste ponto se encontra os poderes do auto controle físico e a transmutação, o que busca movimentar esta raiz ou serpente aos centros glandulares superiores da transmutação pessoal.
A raiz quadrada de 2 é a metáfora universal, o principio da multiplicidade, da transformação, nos minerais, plantas, gases, energia, mecânica, animais. Nosso mundo funciona a partir de prolongamento dos vetores, da continua multiplicação e transmutação de simples moléculas, átomos, regados por uma raiz.
Nosso dia, são múltiplas raízes de nossa vida, o único momento eterno é o presente.
O quadrado simboliza o principio da unidade, ou a melhor a qualidade deste principio unitário, enquanto sua divisão a raiz, sua dualidade, proliferação, multiplicidade infinita que nos leva a polaridades extremas do universo. A unidade e multiplicidade, podem ser compreendidas nas simples diagonais e no quadrado.
Dentro da Geometria Sagrada, usamos como processo geral, o seguinte:
√2 Gerador
Raiz do Quadrado
A causa sempre manifesta o efeito, assim este quadrado não pode ser separado do seu efeito, como no mundo natural as formas geométricas manifestam todo o sistema biológico, químico, arquitetônico, formas se encontram-se em sua continua expansão, e sua constituição como o quadrado acima, manifesta uma relação natural e inseparável a causa e efeito. A causa somente existe se haver um efeito, é o efeito só existe se ocorre uma causa, um verdadeiro ouroborus. Devemos contemplar a geometria em seu movimento de um ponto, bindu e avançando ao traço, bidimensão, tridimensão .... do abstrato à forma e volume.
A relação geométricas são as mesmas relações da natureza. A divisão infinita da relação da raiz e diagonal.
Raiz / Diagonal : Diagonal / Raiz
Na relação de 1:2::2:4::4:8::16::32::64
Esta relação é a mesma do modelo de crescimento por cisão celular dos organismos vivos, não apenas o numero, como à forma, proliferação, divisão de uma unidade.
A raiz geométrica como das plantas, são causadas pelo interior do quadrado é a outra no interior da terra. A raiz da planta dividi os densos componentes minerais do solo, em compostos que a planta possa se alimentar, a raiz do quadrado se divide.
Quando a raiz destrói os compostos do solo para avançar e se multiplicar progressivamente partindo da ruptura. Nossas teorias não podem explicar o porque a planta consegue se multiplicar a partir de si, é o quadrado também o pode a partir do outro.
As funções de raiz são o principio transformador que sustenta a propensão inspiradora da vida, da natureza.
As raízes crescem em constante divisão de sua forma quadrada, o poder de uma raiz e tal, que as arvores alcançam até 30 metros de profundidade para alcançar a água necessária ao seu sustento, e pequenas moitas que estamos acostumados a ver, podem algumas espécies conter mais de 1 bilhão de raízes, que juntas podem chegar à 560 quilômetros.
A raiz é um símbolo da lei do sacrifício na natureza, pois ela cresce não em beneficio próprio, mais do todo para sustentar a planta em seu caminho em direção a luz.
Em nosso corpo ela se manifesta nos intestinos, que é onde se transforma as substancias em energia. Os raios, trovoadas que cortam os céus, manifestam pura transformação energética e física em algumas substancias manifestando o circulo da vida em todos os sentidos. O raio, trovão é a raiz do céu, pois transforma o carbono e nitrogênio em compostos assimiláveis pelas plantas.
“ Não temas o envelhecimento do corpo, já que é assim que o corpo procura a sua raiz. Procurar as raízes é voltar à fonte, e voltar à fonte é procurar o próprio destino. Procurar o próprio destino é nobreza e a nobreza está plena de valor, e valorosos são os que procuram realizar a meta espiritual além de todas as formas. Assim, procurar a raiz é perseguir essa meta. “ Lao-Tsé
Nossa raiz anatômica pela raiz de 2 (√2), este centro ficara abaixo do umbigo no ventre, tal figura medira 2-√2 a partir da palma do pé até o umbigo. Os ensinamentos zen, tantricos, nos ensinam que neste ponto se encontra os poderes do auto controle físico e a transmutação, o que busca movimentar esta raiz ou serpente aos centros glandulares superiores da transmutação pessoal.
A raiz quadrada de 2 é a metáfora universal, o principio da multiplicidade, da transformação, nos minerais, plantas, gases, energia, mecânica, animais. Nosso mundo funciona a partir de prolongamento dos vetores, da continua multiplicação e transmutação de simples moléculas, átomos, regados por uma raiz.
Nosso dia, são múltiplas raízes de nossa vida, o único momento eterno é o presente.
O quadrado simboliza o principio da unidade, ou a melhor a qualidade deste principio unitário, enquanto sua divisão a raiz, sua dualidade, proliferação, multiplicidade infinita que nos leva a polaridades extremas do universo. A unidade e multiplicidade, podem ser compreendidas nas simples diagonais e no quadrado.
Dentro da Geometria Sagrada, usamos como processo geral, o seguinte:
√2 Gerador
√3 Formativo
√5 Regenerativo
Simão, o Mago- Mensagens : 250
Re: Curiosidades Matemáticas
por Simão, o Mago 5/5/2023, 02:57
A chave da Geometria Sagrada e a simbologia dos numerais das catedrais.
“Nenhum trabalho arquitetônico pode ser realizado sem determinado conhecimento das leis cósmicas que dão as respostas às leis imutáveis do espírito.” Titus Burckhardt
A flor da vida, manifestada no campo de Merkabah de uma catedral, é a própria manifestação do conhecimento que ali se encontra inserido.
A trindade esta explicita na geometria sagrada, do 1 (um) nasce o original, do 2 (dois) a polaridade e do 3, o primeiro numero da síntese.
· Brahma, Visnu e Siva.
· Lua, Sol e Vênus.
· Sal , Enxofre e Mercúrio.
O numero 3 e usado para transmitir o “Além”, o transcendente.
Os dois triângulos eqüiláteros utilizado na estrela de Davi, são um conceito mais antigo do que a própria cultura judaica, na verdade a estrela de Davi, é somente a imagem de 2 tetraedros bidimensionalmente, os oito pontos de dois tetraedro envolvidos tridimensionalmente, se projetam em na estrela de Davi, com 6 pontas.
O tetraedro estrela, está associado ao numero 8 pelas, suas pontas, o quaternário duplo, a manifestação do cubo. No islamismo existe oito paraísos, 8 elementos herméticos magisticos, 8 anjos no trono de Deus, a aura ‘∞’ escarpa que se manifestou no próprio 8 (oito), as 8 posturas de yoga (ashthanga), as 8 pessoas que entraram na arca de Nóe, Abraão teve 8 filhos , o nome de Jesus em grego, corresponde a soma 888, uma trindade de oitos.
Este tetraedro, envolve todas as manifestações das formas existentes dentro da matéria tridimensional, segundo os físicos, estas formas invisíveis oriundas de outra dimensão superior, são formas puras de energia.
Enquanto energias são chamados de Merkabah, o que o conceito se encontra no ‘Chi” chinês, no prana indiano , a energia vital que se encontra no movimento, na ação.
As epistolas dos Irmãos Puros que foram traduzidas e cristianizada na França, falam deste conhecimento, de uma cultura e sabiência antiga, que foram absorvidas pelos judeus.
Os dois tetraedros são campos de luz opostos gerados pela respiração, simbolizando o masculino e o feminino em total equilíbrio.
· Tetraedro masculino – Solar, elétrico, gira para a esquerda
· Tetraedro feminino – Terrestre, magnético, gira para a direita.
Ambos em uma dança como galáxias em espiral. A merkabah é o veiculo que transporta o espírito e corpo de uma dimensão a outra, algo que os druidas, aboríginas, xamãs, lamas, swamis, conhecem muito bem.
Todos nós possuímos o nosso Merkabah.
O numero nove é usado para dar os 99 nomes de Alá e a Maomé o seu profeta, referência a Grande Mãe.
O 18 simboliza o 108 sua expressão numérica e 1¹ x 2² x 3³, uma analogia a trindade. A descrição das dimensões superiores, o inverso 81 corresponde a quantidade de elementos estáveis em nosso mundo.
O 108 tem referência a um ângulo do pentagrama, no hinduismo as 108 gopis, as contas da japa, o corpo possui 108 marmas, pontos energéticos importantes, os 108 nomes de Deuses, os 108 passos para a reencarnação e despertar budista.
Enquanto o homem estiver somando e subtraindo continuará preso no mesmo estado de consciência, e não se eleva a nova e sublime plataforma.
“O homem é a metida de todas as coisas” Parmênidas
“Nenhum trabalho arquitetônico pode ser realizado sem determinado conhecimento das leis cósmicas que dão as respostas às leis imutáveis do espírito.” Titus Burckhardt
A flor da vida, manifestada no campo de Merkabah de uma catedral, é a própria manifestação do conhecimento que ali se encontra inserido.
A trindade esta explicita na geometria sagrada, do 1 (um) nasce o original, do 2 (dois) a polaridade e do 3, o primeiro numero da síntese.
· Brahma, Visnu e Siva.
· Lua, Sol e Vênus.
· Sal , Enxofre e Mercúrio.
O numero 3 e usado para transmitir o “Além”, o transcendente.
Os dois triângulos eqüiláteros utilizado na estrela de Davi, são um conceito mais antigo do que a própria cultura judaica, na verdade a estrela de Davi, é somente a imagem de 2 tetraedros bidimensionalmente, os oito pontos de dois tetraedro envolvidos tridimensionalmente, se projetam em na estrela de Davi, com 6 pontas.
O tetraedro estrela, está associado ao numero 8 pelas, suas pontas, o quaternário duplo, a manifestação do cubo. No islamismo existe oito paraísos, 8 elementos herméticos magisticos, 8 anjos no trono de Deus, a aura ‘∞’ escarpa que se manifestou no próprio 8 (oito), as 8 posturas de yoga (ashthanga), as 8 pessoas que entraram na arca de Nóe, Abraão teve 8 filhos , o nome de Jesus em grego, corresponde a soma 888, uma trindade de oitos.
Este tetraedro, envolve todas as manifestações das formas existentes dentro da matéria tridimensional, segundo os físicos, estas formas invisíveis oriundas de outra dimensão superior, são formas puras de energia.
Enquanto energias são chamados de Merkabah, o que o conceito se encontra no ‘Chi” chinês, no prana indiano , a energia vital que se encontra no movimento, na ação.
As epistolas dos Irmãos Puros que foram traduzidas e cristianizada na França, falam deste conhecimento, de uma cultura e sabiência antiga, que foram absorvidas pelos judeus.
Os dois tetraedros são campos de luz opostos gerados pela respiração, simbolizando o masculino e o feminino em total equilíbrio.
· Tetraedro masculino – Solar, elétrico, gira para a esquerda
· Tetraedro feminino – Terrestre, magnético, gira para a direita.
Ambos em uma dança como galáxias em espiral. A merkabah é o veiculo que transporta o espírito e corpo de uma dimensão a outra, algo que os druidas, aboríginas, xamãs, lamas, swamis, conhecem muito bem.
Todos nós possuímos o nosso Merkabah.
13824=18=9
A relação feita dentro das igrejas góticas como a Catedral de Chartres em sua relação geométrica com o 33, em referência direta a Jesus.O numero nove é usado para dar os 99 nomes de Alá e a Maomé o seu profeta, referência a Grande Mãe.
O 18 simboliza o 108 sua expressão numérica e 1¹ x 2² x 3³, uma analogia a trindade. A descrição das dimensões superiores, o inverso 81 corresponde a quantidade de elementos estáveis em nosso mundo.
O 108 tem referência a um ângulo do pentagrama, no hinduismo as 108 gopis, as contas da japa, o corpo possui 108 marmas, pontos energéticos importantes, os 108 nomes de Deuses, os 108 passos para a reencarnação e despertar budista.
13824 = 12348
A compreensão dos arquétipos dos números, como conteúdo de simbologia, para compreender esta relação de proporções e necessária. As operações numéricas não são adição e subtração, mais sim multiplicação e potencializarão nos planos superiores, e subtração na ramificação dos planos “inferiores”.Enquanto o homem estiver somando e subtraindo continuará preso no mesmo estado de consciência, e não se eleva a nova e sublime plataforma.
“O homem é a metida de todas as coisas” Parmênidas
Simão, o Mago- Mensagens : 250
Re: Curiosidades Matemáticas
por Eremita 16/6/2023, 14:02
1:2::2:4::4:8::16::32::64Simão, o Mago escreveu:Geometria Sagrada - √2
Raiz do Quadrado
A causa sempre manifesta o efeito, assim este quadrado não pode ser separado do seu efeito, como no mundo natural as formas geométricas manifestam todo o sistema biológico, químico, arquitetônico, formas se encontram-se em sua continua expansão, e sua constituição como o quadrado acima, manifesta uma relação natural e inseparável a causa e efeito. A causa somente existe se haver um efeito, é o efeito só existe se ocorre uma causa, um verdadeiro ouroborus. Devemos contemplar a geometria em seu movimento de um ponto, bindu e avançando ao traço, bidimensão, tridimensão .... do abstrato à forma e volume.
A relação geométricas são as mesmas relações da natureza. A divisão infinita da relação da raiz e diagonal.
Raiz / Diagonal : Diagonal / Raiz
Na relação de 1:2::2:4::4:8::16::32::64
Esta relação é a mesma do modelo de crescimento por cisão celular dos organismos vivos, não apenas o numero, como à forma, proliferação, divisão de uma unidade.
A raiz geométrica como das plantas, são causadas pelo interior do quadrado é a outra no interior da terra. A raiz da planta dividi os densos componentes minerais do solo, em compostos que a planta possa se alimentar, a raiz do quadrado se divide.
Quando a raiz destrói os compostos do solo para avançar e se multiplicar progressivamente partindo da ruptura. Nossas teorias não podem explicar o porque a planta consegue se multiplicar a partir de si, é o quadrado também o pode a partir do outro.
As funções de raiz são o principio transformador que sustenta a propensão inspiradora da vida, da natureza.
As raízes crescem em constante divisão de sua forma quadrada, o poder de uma raiz e tal, que as arvores alcançam até 30 metros de profundidade para alcançar a água necessária ao seu sustento, e pequenas moitas que estamos acostumados a ver, podem algumas espécies conter mais de 1 bilhão de raízes, que juntas podem chegar à 560 quilômetros.
A raiz é um símbolo da lei do sacrifício na natureza, pois ela cresce não em beneficio próprio, mais do todo para sustentar a planta em seu caminho em direção a luz.
Em nosso corpo ela se manifesta nos intestinos, que é onde se transforma as substancias em energia. Os raios, trovoadas que cortam os céus, manifestam pura transformação energética e física em algumas substancias manifestando o circulo da vida em todos os sentidos. O raio, trovão é a raiz do céu, pois transforma o carbono e nitrogênio em compostos assimiláveis pelas plantas.
“ Não temas o envelhecimento do corpo, já que é assim que o corpo procura a sua raiz. Procurar as raízes é voltar à fonte, e voltar à fonte é procurar o próprio destino. Procurar o próprio destino é nobreza e a nobreza está plena de valor, e valorosos são os que procuram realizar a meta espiritual além de todas as formas. Assim, procurar a raiz é perseguir essa meta. “ Lao-Tsé
Nossa raiz anatômica pela raiz de 2 (√2), este centro ficara abaixo do umbigo no ventre, tal figura medira 2-√2 a partir da palma do pé até o umbigo. Os ensinamentos zen, tantricos, nos ensinam que neste ponto se encontra os poderes do auto controle físico e a transmutação, o que busca movimentar esta raiz ou serpente aos centros glandulares superiores da transmutação pessoal.
A raiz quadrada de 2 é a metáfora universal, o principio da multiplicidade, da transformação, nos minerais, plantas, gases, energia, mecânica, animais. Nosso mundo funciona a partir de prolongamento dos vetores, da continua multiplicação e transmutação de simples moléculas, átomos, regados por uma raiz.
Nosso dia, são múltiplas raízes de nossa vida, o único momento eterno é o presente.
O quadrado simboliza o principio da unidade, ou a melhor a qualidade deste principio unitário, enquanto sua divisão a raiz, sua dualidade, proliferação, multiplicidade infinita que nos leva a polaridades extremas do universo. A unidade e multiplicidade, podem ser compreendidas nas simples diagonais e no quadrado.
Dentro da Geometria Sagrada, usamos como processo geral, o seguinte:
√2 Gerador√3 Formativo√5 Regenerativo
Isso é uma progressão geométrica de ordem 2. É exatamente a "lei" da divisão celular: uma célula da origem a duas, essas duas dão origem a mais duas, essas 4 dão origem a 8 e por aí vai...
Eremita- Mensagens : 419
Re: Curiosidades Matemáticas
por Lobo do Leste 5/2/2024, 03:11
PITÁGORAS E LIBERTAÇÃO DA ALMA
Na Grécia, em meados do século VI a.C., para garantir sua liderança perante o povo e enfraquecer a antiga aristocracia, políticos tiranos incentivaram a expansão de cultos religiosos populares ou estrangeiros.
Como resultado disso, destacando-se entre outras seitas, o orfismo, de Orfeu com características essencialmente esotéricas, pregando a necessidade do retorno à origem, ou seja, às estrelas, por meio de um processo de purificação que ocorria com a transmigração da alma através de vários corpos.
Para livrar-se do ciclo de reencarnações, era necessário que o homem obedecesse ao deus libertador, Dionísio, com algumas regras práticas, tais como a abstinência de certos alimentos.
Foi assim que Pitágoras de Samos transformou a Matemática em uma “via de salvação”, no lugar de Dionísio, convertendo o processo de libertação da alma em um esforço intelectual, isto é, em um empenho puramente humano.
Isso foi muito bom porque Pitágoras e seus seguidores, os pitagóricos, nos deixaram muitos conceitos como os dos números pares e ímpares, números figurados, números primos , a relação entre os catetos, a hipotenusa de um triangulo retângulo e outros.
Hoje é muito conhecido o Teorema de Pitágoras. A numerologia também é uma herança da doutrina dos pitagóricos.
NÚMEROS FIGURADOS
Por acreditarem que tudo no universo poderia ser explicado por meio dos números, os pitagóricos adotaram representações para os números:
O
O O O O O O O
A FONTE 2 4 O 6 O O 8 O Números
O O O O O O O fêmeas
O
O O O O O O O O O
UNIDADE O O O O O O O Números
3 O O O O O O O O Machos
5 7 9
Estabelecia-se, assim, diferentes níveis da realidade a tábua de opostos fundamentais, tais como:
- unidade e multiplicidade,- macho e fêmea,
- à esquerda e à direita (relativas ao movimento das "estrelas fixas" e outros.
Por exemplo: o número cinco representava o casamento. Um número primo ímpar que, por a sua formação, representaria a união fecunda.
2 + 3
OOO
O
OOO
casamento
Pitágoras também estudou as propriedades geométricas dos números e descobriu, por exemplo, que dispostos geometricamente, os números ímpares formam sempre o quadrado, enquanto os números pares constituem sempre o retângulo.
O O O O O O O O O
O O O O O O O O O
O O O O O O O O O
O O O O O O O O O
Números pares Números ímpares
Haviam também os números triangulares, pentagonais, hexagonais etc.
NÚMEROS TRIANGULARES
O
O O
O O O O
O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
1 3 6 15
MÔNADAS
Pitágoras entendia que a matéria seria formada por corpúsculos de menor tamanho que qualquer coisa. O intervalo entre esses minúsculos corpos eram denominados MÔNADAS.
Se as mônadas pudessem ser vistas, um segmento de reta seria formado por uma série de unidades justapostas, ou seja, por uma quantidade finita de elementos indivisíveis.
Trata-se de uma hipótese que garantia a possibilidade de comparar as medidas de quaisquer dois segmentos a partir dos números inteiros naturais e suas razões.
entre duas "mônadas", poderia ser intercalada uma terceira "mônada".
Dessa forma, sempre será possível colocar uma "mônada" entre outras duas, então surge a dúvida: quantas "mônadas" corresponde a um segmento?
Lobo do Leste- Mensagens : 455
Re: Curiosidades Matemáticas
por Lobo do Leste 5/2/2024, 03:14
CURIOSIDADES NUMÉRICAS
12345679 x 9 = 111111111
12345679 x 18 = 222222222
12345679 x 27 = 333333333
12345679 x 36 = 444444444
12345679 x 45 = 555555555
12345679 x 54 = 666666666
12345679 x 63 = 777777777
12345679 x 72 = 888888888
12345679 x 81 = 999999999
9 x 9 + 7 = 88
9 x 98 + 6 = 888
9 x 987 + 5 = 8888
9 x 9876 + 4 = 88888
9 x 98765 + 3 = 888888
9 x 987654 + 2 = 8888888
9 x 9876543 + 1 = 88888888
9 x 98765432 + 0 = 888888888
9 x 1 + 2 = 11
9 x 12 + 3 = 111
9 x 123 + 4 = 1111
9 x 1234 + 5 = 11111
9 x 12345 + 6 = 111111
9 x 123456 + 7 = 1111111
9 x 1234567 + 8 = 11111111
9 x 12345678 + 9 = 111111111
9 x 123456789 + 10 = 1111111111
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321
9 x 7 = 63
99 x 77 = 7623
999 x 777 = 776223
9999 x 7777 = 77762223
99999 x 77777 = 7777622223
999999 x 777777 = 777776222223
9999999 x 7777777 = 77777762222223
99999999 x 77777777 = 7777777622222223
1 x 7 + 3 = 10
14 x 7 + 2 = 100
142 x 7 + 6 = 1000
1428 x 7 + 4 = 10000
14285 x 7 + 5 = 100000
142857 x 7 + 1 = 1000000
1428571 x 7 + 3 = 10000000
14285714 x 7 + 2 = 100000000
142857142 x 7 + 6 = 1000000000
1428571428 x 7 + 4 = 10000000000
14285714285 x 7 + 5 = 100000000000
142857142857 x 7 + 1 = 1000000000000
9 x 9 = 81
99 x 99 = 9801
999 x 999 = 998001
9999 x 9999 = 99980001
99999 x 99999 = 9999800001
999999 x 999999 = 999998000001
12 x 12 = 144, 21 x 21 = 441
13 x 13 = 169, 31 x 31 = 961
102x102 = 10404, 201x201 = 40401
103x103 = 10609, 301x301 = 90601
112x112 = 12544, 211x211 = 44521
122x122 = 14884, 221x221 = 48841
Lobo do Leste- Mensagens : 455
Re: Curiosidades Matemáticas
por Lobo do Leste 5/2/2024, 03:25
A GEOMETRIA DO SÉC. III a.C.
Os antigos já haviam percebido que:(i) A sombra da Terra projetada na Lua, durante os eclipses lunares, exibe uma forma arredondada.
(ii) Quando o navio se afasta, primeiro desaparece o seu casco e depois desaparece o seu mastro; quando o navio se aproxima, primeiro aparece o seu mastro e depois aparece o seu casco.
(iii) As mesmas estrelas não são visíveis de todos os locais; as suas respectivas alturas acima do horizonte variam de local para local.
Daí, Erastótenes (276 a.C. - 194 a.C.) , enquanto dirigia a biblioteca do museu de Alexandria, obteve, nos livros, a informação de que, em determinado dia do ano, no solstício de verão no hemisfério norte (SOLSTÍCIO), ao meio-dia, o Sol se refletia nas águas de um poço muito fundo situado na sua cidade natal, Syene, que ficava exatamente no limite da zona tropical e no mesmo meridiano de Alexandria.Para que a luz do Sol pudesse se refletir nas águas de um poço muito fundo, este deveria estar bem alinhado com o Sol, isto é, o Sol, o poço e o raio da Terra deveriam estar todos sobre uma mesma reta imaginária, ou em outras palavras, o Sol deveria estar no zênite, exatamente sobre a cabeça do observador.
Erastótenes observou que nesse mesmo dia, em Alexandria, a sombra de uma coluna, ao meio-dia, revelava que o Sol distava do zênite 7½º (medida feita com o auxílio do astrolábio).
Sabendo que os raios de luz provindos de grandes distâncias parecem paralelos ou comportam-se como se fossem, Erastótenes concluiu que os raios que ligam as extremidades de um arco de 800 Km ao centro da Terra, formam um ângulo de 7½º (800 Km é a distância entre as duas cidades, que já era conhecida pelos funcionários do museu). Este ângulo equivale a aproximadamente 1/50 do comprimento do meridiano terrestre — que é de 3.600 (2p).
A partir do teorema das retas paralelas (TEOREMA), Erastótenes transpôs o ângulo de 7½º.
A partir daí, fica simples encontrar o raio da Terra:
Cálculo da Circunferência da Terra:
Por uma regra de três simples, calculamos facilmente o comprimento da circunferência da Terra!
1/50 x 2p (7 1/20) → 800 Km (distância entre Syene e Alexandria)
2p (3.600) → X (circunferência da Terra)
X = 40.000 Km
Cálculo do Raio da Terra
Agora fica fácil calcular o raio da Terra, pois sabemos que o comprimento de uma circunferência é 2πr e já sabemos que o comprimento da circunferência da Terra é de 40.000 Km. Fazemos então:
C = 2πr
40.000 = 2πr
r = 40.000 / 2π
isolamos π
r = 40.000 x 7 / 2 x 22
Obs: p já havia sido determinado por Arquimedes como sendo 22/7
r = 5.400 Km
O resultado da experiência de Erastótenes foi surpreendentemente próximo da medida observada hoje.
Fonte: Marina Menna Barreto, em: <http://www.mat.ufrgs.br/~licenmat/trabalhos/trab1/erast.htm>
CURIOSIDADE
Eratóstenes nasceu em Cirene (atual Líbano), em 276 a.C. e faleceu em Alexandria em 194 a.C. Como muitos sábios do seu tempo, foi astrônomo, historiador, geógrafo, filósofo, poeta e matemático. Estes conhecimentos levaram-no a ocupar um dos cargos mais importantes na Antiguidade: diretor da maior e mais importante biblioteca da época - a Biblioteca de Alexandria, uma das sete maravilhas do mundo. Apesar de ser um estudioso de nível superior nas áreas em que interveio nunca chegou a atingir o patamar máximo do seu contemporâneo Arquimedes. No entanto, os seus feitos e descobertas, tornaram-no uma das figuras mais importantes da ciência. (http://nautilus.fis.uc.pt/)
Lobo do Leste- Mensagens : 455
Re: Curiosidades Matemáticas
por Lobo do Leste 5/2/2024, 03:28
Construção de um
relógio de sol horizontal
Para traçar no plano α′ as marcações de um relógio horizontal com gnomon* GC projetam-se sobre α′ as marcações igualmente intervaladas de um relógio equatorial auxiliar cujo gnomon tem a direção GC:
Sejam GF e CF os segmentos de reta que contêm, respectivamente, as marcações do meio-dia no relógio equatorial auxiliar e no relógio horizontal.
Seja r a reta que resulta da intersecção do plano α′ com o plano que contém o mostrador do relógio equatorial auxiliar.
As marcações no relógio horizontal são determinadas pela intersecção com a reta r dos segmentos de reta (a tracejado na figura) que contêm as marcações horárias do relógio equatorial auxiliar.
O relógio deve ser implantado de forma a que o extremo livre do gnomon aponte para norte.
A obtenção dos valores dos ângulos entre as marcações horárias de um relógio horizontal e o conseqüente traçado do seu mostrador pode ser feito utilizando conceitos de trigonometria plana:
Considerem-se os triângulos retângulos FGC, FHG e FHC.
Esquema 2
Como 
GCF = L e FGH = 15°, tem-se que sin L = FG / FC, tan 15° = FH/FG e tan FCH = FH / FC = (FG tan 15º) / FC, isto é
GCF = L e FGH = 15°, tem-se que sin L = FG / FC, tan 15° = FH/FG e tan FCH = FH / FC = (FG tan 15º) / FC, isto étan FCH = (sin L)( tan 15°).
FCH = (sin L)( tan 15°).Analogamente, sendo FGJ = 30°, FGK = 45°, tem-se que
FGJ = 30°, FGK = 45°, tem-se quetan FCJ = (sin L)( tan 30°)
tan FCK = (sin L)( tan 45°)
FCJ = (sin L)( tan 30°)tan
FCK = (sin L)( tan 45°)e assim sucessivamente. Os segmentos de reta GM e CB (que contêm, respectivamente, a marcação das 6 horas no relógio equatorial e no relógio horizontal) são paralelos a r.
Com uma planificação conveniente do esquema 1 pode arranjar-se um processo puramente geométrico para obter as marcações de um relógio horizontal.
Rodemos de 90° + L o plano α em torno da reta r (interseção de α e α′) no sentido direto.
Desta forma ele irá sobrepor-se com o plano α′ e transportamos o ponto G e as linhas horárias do relógio equatorial auxiliar para o plano onde pretende-se efetuar as marcações do relógio horizontal, como se ilustra no esquema 2.
Rebatendo o triângulo retângulo FGC, cujo cateto GC é gnomon do relógio horizontal, sobre o plano α′, obtemos o triângulo retângulo FEC, em que EC é o rebatimento do gnomon.
Deste conjunto de operações resulta imediatamente que o ponto G se pode obter através da rotação de 90° + L do segmento EF em torno de F, no sentido indicado no esquema 2.
Este processo conduz a uma planificação do esquema 1, pelo que para obter as linhas horárias (a encarnado) do relógio horizontal basta unir o ponto C com os pontos de intersecção das linhas horárias (a cinzento) do relógio equatorial com a reta r, como se ilustra no esquema 2.
Observe-se que o esquema 2 pode ser munido de um conjunto de instruções que permite obter diretamente as marcações de um relógio horizontal como se ilustra no esquema de construção.
Esquema de um relógio de sol horizontal
Materiais necessários: 1 quadrado de cartão com 20 cm de lado; 1 quadrado de cartolina com 10 cm de lado; régua; transferidor; marcador; cola.
Procedimentos- Trace uma margem de 2 cm em cada um dos lados do cartão e defina o lado superior do mostrador como sendo o segmento de recta AB.
- No segmento de reta AB, marque o ponto médio C e trace uma perpendicular. Ao ponto de intersecção do último segmento com a margem já construída atribua a letra D.
- A partir do segmento AC e com o auxílio de um transferidor marque o ângulo complementar da latitude, α, do lugar onde quer implantar o relógio e trace um segmento de reta com origem no ponto C. Assinale um ponto E que distancie 4 cm de C.
- A partir do ponto E trace uma perpendicular a CE, que vá ao encontro do segmento CD. Chame F ao ponto de intersecção deste novo segmento com o segmento CD.
- Trace uma reta s paralela ao segmento AB e que passe por F.
Construa uma circunferência de centro em F e raio igual à medida do segmento EF. Assinale com a letra G o ponto de intersecção da circunferência com o segmento CD. - Construa uma semi-circunferência de centro em G e marque sobre esta os ângulos de 15° em 15° a partir do segmento CD. Trace todos os segmentos que unam o ponto G à reta s e que passem pelas marcas entretanto assinaladas.
- A partir dos novos pontos obtidos na reta s trace todos os segmentos que vão ao encontro do ponto C e que intersectam na outra extremidade as margens do mostrador. Estes segmentos vão representar as linhas horárias do relógio de sol e deverão ser realçados com o auxílio de um marcador.
- Com o pedaço de cartolina construa o gnomon com base no esquema representado:
CN: gnomon
CF: base do gnomon
b: medida do gnomon
α: latitude do lugar
- Dobre a peça construída no segmento FN e cole os dois triângulos um ao outro.
- Com o x-acto faça uma incisão no cartão ao longo do segmento CF.
- Enfie o gnomon na incisão feita no mostrador, de modo a que as letras C e F fiquem coincidentes, e cole as pastilhas na parte anterior do mostrador. O gnomon deverá ficar perpendicular ao mostrador.
- Está em condições de colocar o seu relógio de sol no local desejado, mas atenção porque o vértice C deverá ficar apontado a Sul.
*Gnomon: instrumento antigo que marca as horas ou a altura do Sol pela direção da sombra que projecta sobre um plano; ponteiro de um relógio de sol.
Lobo do Leste- Mensagens : 455
Re: Curiosidades Matemáticas
por Lobo do Leste 5/2/2024, 03:29
Os Relógios de Sol
e a Trigonometria
Relógio de Sol Horizontal
Ao longo dos tempos as sombras despertaram no Homem sentimentos diversos. O Sol, um dos principais responsáveis no aparecimento dessas sombras, revelava ser um mistério com comportamentos cíclicos, o que provocou as primeiras observações e os primeiros estudos. Com o passar dos milênios foram aparecendo vários instrumentos de medição do tempo, entre os quais os Relógios de Sol.
Desafiaamos você a uma viagem no tempo, na procura da magia acumulada de séculos de história. Os Relógios de Sol e a Trigonometria serão a simbiose de uma natureza matemática intemporal que poderá dar a conhecer aos alunos algumas das belezas do nosso Universo...
Determinação do Norte Verdadeiro
A indicação da direção Norte-Sul é imprescindível para a orientação dos Relógios de Sol. Na Antiguidade foram desenvolvidos processos que permitiram a determinação do chamado Norte Verdadeiro. O procedimento que se segue permite a obtenção desse ponto:
1. Escolha um local iluminado durante um período de cerca de quatro horas para a obtenção do alinhamento do Norte geográfico verdadeiro.
2. Próximo das 10 horas, coloque uma estaca (gnomon) na vertical e trace uma circunferência de centro na base da estaca e raio igual à sombra da mesma e marque o ponto em que a extremidade da sombra toca a circunferência, unindo o ponto à base do gnomon.
3. Perto das 14 horas verifique o momento em que a extremidade da sombra toca novamente a circunferência. Marque esse ponto e una-o à base do gnomon.
4. A bissetriz do ângulo formado aponta para o Norte verdadeiro.
VER FIGURA 1
Determinação da Latitude Local
O segundo passo é obter a latitude do lugar aonde será montado o relógio. Desde mapas cartográficos até equipamentos GPS podem ser utilizados para tal.
Construção de um
relógio de Sol Vertical
Materiais necessários
- um quadrado de cartão com 20 cm de lado;
- um quadrado de cartolina com 10 cm de lado;
- régua;
- transferidor;
- marcador;
- cola;
- estilete.
- um quadrado de cartolina com 10 cm de lado;
- régua;
- transferidor;
- marcador;
- cola;
- estilete.
Procedimentos:
3. A partir do segmento AC e com o auxílio de um transferidor marque o ângulo complementar da latitude,q , do lugar onde quer implantar o relógio e trace um segmento de reta com origem no ponto C. Assinale um ponto E que diste ±3 cm de C.
4. A partir do ponto E trace uma perpendicular a CE, que vá ao encontro do segmento CD. Chame F ao ponto de intersecção deste novo segmento com o segmento CD.
5. Trace uma reta paralela s ao segmento AB e que passe por F.
6. Construa uma circunferência de centro em F e raio igual à medida do segmento EF. Assinale com a letra G o ponto de intersecção da circunferência com o segmento CD.
7. Construa uma semi-circunferência de centro em G e marque sobre esta os ângulos de 15º em 15º a partir do segmento CD. Trace todos os segmentos que unam o ponto G à reta s e que passem pelas marcas entretanto assinaladas.
8. A partir dos novos pontos obtidos na reta s trace todos os segmentos que vão ao encontro do ponto C e que intersectam na outra extremidade as margens do mostrador. Estes segmentos vão representar as linhas horárias do relógio de sol e deverão ser realçados com o auxílio de um marcador.
9. Com o pedaço de cartolina construa o gnomon: VER FIGURA 3.
10. Dobre a peça construída no segmento FN e cole os dois triângulos um ao outro.
11. Com o estilete faça uma incisão no cartão ao longo do segmento CF.
12. Enfie o gnomon na incisão feita no mostrador e cole as patilhas na parte anterior do mostrador. O gnomon deverá ficar perpendicular ao mostrador.
13. Está em condições de colocar o seu relógio de sol no local desejado, mas atenção porque o vértice C deverá ficar apontado a Sul.
Para ler as horas neste relógio temos de ter em consideração os seguintes três fatores:
4. A partir do ponto E trace uma perpendicular a CE, que vá ao encontro do segmento CD. Chame F ao ponto de intersecção deste novo segmento com o segmento CD.
5. Trace uma reta paralela s ao segmento AB e que passe por F.
6. Construa uma circunferência de centro em F e raio igual à medida do segmento EF. Assinale com a letra G o ponto de intersecção da circunferência com o segmento CD.
7. Construa uma semi-circunferência de centro em G e marque sobre esta os ângulos de 15º em 15º a partir do segmento CD. Trace todos os segmentos que unam o ponto G à reta s e que passem pelas marcas entretanto assinaladas.
8. A partir dos novos pontos obtidos na reta s trace todos os segmentos que vão ao encontro do ponto C e que intersectam na outra extremidade as margens do mostrador. Estes segmentos vão representar as linhas horárias do relógio de sol e deverão ser realçados com o auxílio de um marcador.
9. Com o pedaço de cartolina construa o gnomon: VER FIGURA 3.
10. Dobre a peça construída no segmento FN e cole os dois triângulos um ao outro.
11. Com o estilete faça uma incisão no cartão ao longo do segmento CF.
12. Enfie o gnomon na incisão feita no mostrador e cole as patilhas na parte anterior do mostrador. O gnomon deverá ficar perpendicular ao mostrador.
13. Está em condições de colocar o seu relógio de sol no local desejado, mas atenção porque o vértice C deverá ficar apontado a Sul.
Para ler as horas neste relógio temos de ter em consideração os seguintes três fatores:
a) Somar (ou subtrair) 4 minutos por cada por cada grau de longitude a Oeste (ou Este) do meridiano de referência — Meridiano de Greenwich.
b) Adicionar uma hora quando estamos com a hora de Verão.
c) Aplicar a correção horária para o dia do ano, através do gráfico da Equação do Tempo.
b) Adicionar uma hora quando estamos com a hora de Verão.
c) Aplicar a correção horária para o dia do ano, através do gráfico da Equação do Tempo.
1. Trace uma margem de 2 cm em cada um dos lados do cartão e defina o lado superior do mostrador como sendo o segmento de reta AB. VER FIGURA 2.
2. No segmento de reta AB, marque o ponto médio C e trace uma perpendicular. O ponto de intersecção do último segmento com a margem já construída terá a letra D.
2. No segmento de reta AB, marque o ponto médio C e trace uma perpendicular. O ponto de intersecção do último segmento com a margem já construída terá a letra D.
Construção de um
relógio de Sol Horizontal
Entre os tipos de relógio de sol, o horizontal é o menos complicado. O mostrador fica na horizontal pelo que o gnomon (estaca) faz um ângulo com o mostrador igual à latitude do local de implantação do relógio.
Materiais necessários:
- um quadrado de cartão com 20 cm de lado;
- um quadrado de cartolina com 10 cm de lado;
- régua;
- transferidor;
- marcador;
- cola;
- estilete.
- um quadrado de cartolina com 10 cm de lado;
- régua;
- transferidor;
- marcador;
- cola;
- estilete.
Um relógio horizontal é composto de uma mesa horizontal; mostradores das horas, sobre a Mesa; um gnomon (estaca) inclinado. O mostrador está na horizontal e o gnomon faz um ângulo com o mostrador igual à latitude do local de implantação do relógio.
Procedimentos:
1. Trace uma margem de 2 cm em cada um dos lados do cartão e defina o lado superior do mostrador como sendo o segmento de reta AB. VER FIGURA 4.
2. No segmento de reta AB, marque o ponto médio C e trace uma perpendicular. Ao ponto de intersecção do último segmento com a margem já construída atribua a letra D.
3. A partir do segmento AC e com o auxílio de um transferidor marque o ângulo complementar da latitude, q, do lugar onde quer implantar o relógio e trace um segmento de reta com origem no ponto C. Assinale um ponto E que diste ±3 cm de C.
4. A partir do ponto E trace uma perpendicular a CE, que vá ao encontro do segmento CD. Chame F ao ponto de intersecção deste novo segmento com o segmento CD.
5. Trace uma reta paralela s ao segmento AB e que passe por F.
6. Construa uma circunferência de centro em F e raio igual à medida do segmento EF. Assinale com a letra G o ponto de intersecção da circunferência com o segmento CD.
7. Construa uma semi-circunferência de centro em G e marque sobre esta os ângulos de 15º em 15º a partir do segmento CD. Trace todos os segmentos que unam o ponto G à reta s e que passem pelas marcas entretanto assinaladas.
8. A partir dos novos pontos obtidos na reta s trace todos os segmentos que vão ao encontro do ponto C e que intersectam na outra extremidade as margens do mostrador. Estes segmentos vão representar as linhas horárias do relógio de sol e deverão ser realçados com o auxílio de um marcador.
9. Com o pedaço de cartolina construa o gnomon com base na FIGURA 5.
10. Dobre a peça construída no segmento FN e cole os dois triângulos um ao outro.
11. Com o estilete faça uma incisão no cartão ao longo do segmento CF.
12. Enfie o gnomon na incisão feita no mostrador e cole as patilhas na parte anterior do mostrador. O gnomon deverá ficar perpendicular ao mostrador.
13. Está em condições de colocar o seu relógio de sol no local desejado, mas atenção porque o vértice C deverá ficar apontado a Sul.
2. No segmento de reta AB, marque o ponto médio C e trace uma perpendicular. Ao ponto de intersecção do último segmento com a margem já construída atribua a letra D.
3. A partir do segmento AC e com o auxílio de um transferidor marque o ângulo complementar da latitude, q, do lugar onde quer implantar o relógio e trace um segmento de reta com origem no ponto C. Assinale um ponto E que diste ±3 cm de C.
4. A partir do ponto E trace uma perpendicular a CE, que vá ao encontro do segmento CD. Chame F ao ponto de intersecção deste novo segmento com o segmento CD.
5. Trace uma reta paralela s ao segmento AB e que passe por F.
6. Construa uma circunferência de centro em F e raio igual à medida do segmento EF. Assinale com a letra G o ponto de intersecção da circunferência com o segmento CD.
7. Construa uma semi-circunferência de centro em G e marque sobre esta os ângulos de 15º em 15º a partir do segmento CD. Trace todos os segmentos que unam o ponto G à reta s e que passem pelas marcas entretanto assinaladas.
8. A partir dos novos pontos obtidos na reta s trace todos os segmentos que vão ao encontro do ponto C e que intersectam na outra extremidade as margens do mostrador. Estes segmentos vão representar as linhas horárias do relógio de sol e deverão ser realçados com o auxílio de um marcador.
9. Com o pedaço de cartolina construa o gnomon com base na FIGURA 5.
10. Dobre a peça construída no segmento FN e cole os dois triângulos um ao outro.
11. Com o estilete faça uma incisão no cartão ao longo do segmento CF.
12. Enfie o gnomon na incisão feita no mostrador e cole as patilhas na parte anterior do mostrador. O gnomon deverá ficar perpendicular ao mostrador.
13. Está em condições de colocar o seu relógio de sol no local desejado, mas atenção porque o vértice C deverá ficar apontado a Sul.
Como ver as Horas
num Relógio de Sol?
A diferença que existe entre as horas indicadas por um relógio de sol e um relógio normal deve-se a três razões:
- Hora de Inverno e de Verão
Para aproveitarmos a luz do dia da melhor maneira possível em cada estação atrasamos ou adiantamos os nossos relógios em determinadas alturas do ano. Dado este facto e se estivermos na hora de Verão, necessitaremos de adicionar uma hora às horas indicadas pelo relógio de sol.
- Longitude
A hora dada pelo relógio de sol necessita ser corrigida de acordo com a longitude do lugar. Por cada grau de longitude Oeste adicionam-se 4 minutos e por cada grau de longitude Este subtraem-se 4 minutos (a longitude de Lisboa é de 9º 10’ Oeste).
- Equação do Tempo
Visto que a órbita da terra em torno do sol é uma elipse e como o eixo da Terra não é perpendicular ao plano da órbita o dia solar tem variações que atingem 31 minutos. Por questões de conveniência sobre o uso de relógios, faz-se a média destas variações para obter a hora média de Greenwich. Assim, para corrigir a hora dada pelo relógio de sol, chamada de tempo solar aparente, e obter a hora média de Greenwich (hora standard para todo o país), aplica-se uma correção apropriada chamada Equação do Tempo, ou seja, um gráfico ou tabela que mostra quanto o relógio de sol está adiantado ou atrasado. VER FIGURA 6.
- Hora de Inverno e de Verão
Para aproveitarmos a luz do dia da melhor maneira possível em cada estação atrasamos ou adiantamos os nossos relógios em determinadas alturas do ano. Dado este facto e se estivermos na hora de Verão, necessitaremos de adicionar uma hora às horas indicadas pelo relógio de sol.
- Longitude
A hora dada pelo relógio de sol necessita ser corrigida de acordo com a longitude do lugar. Por cada grau de longitude Oeste adicionam-se 4 minutos e por cada grau de longitude Este subtraem-se 4 minutos (a longitude de Lisboa é de 9º 10’ Oeste).
- Equação do Tempo
Visto que a órbita da terra em torno do sol é uma elipse e como o eixo da Terra não é perpendicular ao plano da órbita o dia solar tem variações que atingem 31 minutos. Por questões de conveniência sobre o uso de relógios, faz-se a média destas variações para obter a hora média de Greenwich. Assim, para corrigir a hora dada pelo relógio de sol, chamada de tempo solar aparente, e obter a hora média de Greenwich (hora standard para todo o país), aplica-se uma correção apropriada chamada Equação do Tempo, ou seja, um gráfico ou tabela que mostra quanto o relógio de sol está adiantado ou atrasado. VER FIGURA 6.
CÁLCULO DOS ÂNGULOS
DAS HORAS ( X )
Os ângulos para as marcas de cada hora do Relógio de Sol Horizontal, são calculados de acordo com a fórmula e tabela abaixo, devendo ser traçados na mesa antes da fixação do gnomom.
Aonde: X é o ângulo procurado entre a marca da hora e a linha das 12 horas, contado a partir do centro C do marcador. L é a latitude do lugar em graus e h, conforme tabela abaixo:
Aonde: X é o ângulo procurado entre a marca da hora e a linha das 12 horas, contado a partir do centro C do marcador. L é a latitude do lugar em graus e h, conforme tabela abaixo:
hora hora oposta h
07:00 17:00 3,73205
08:00 16:00 1,73205
09:00 15:00 1,00000
10:00 14:00 0,57735
11:00 13:00 0,26794
Verifique também as figuras 7 e 8.
Lobo do Leste- Mensagens : 455
Re: Curiosidades Matemáticas
por Lobo do Leste 7/2/2024, 23:26
Medidas extremas
Conheça a fascinante história das medidas, que acompanham o homem desde o tempo das cavernas.
Texto da Revista Superinteressante,
ed. 186, mar. de 2003
ed. 186, mar. de 2003
Da Pré-História aos dias de hoje, as medidas de espaço, volume e massa foram de tal forma incorporadas às nossas vidas que é impossível imaginar a civilização sem elas. Conheça os bastidores dessa história de erros, acetos e acirradas disputas de poder
Elas fazem parte da vida cotidiana. Estão na reforma da casa, nas compras do supermercado, na ida ao posto de gasolina. Têm presença garantida nos laboratórios de pesquisa e nas indústrias, e são usadas nas transações comerciais entre os países. Você já não consegue mais conceber o mundo sem considerá-las; basta pensar nos metros, quilos e litros que permeiam as suas atividades mais corriqueiras. Essas personagens tão prestigiosas são as medidas, grandezas de espaço, massa e volume que acompanham a evolução intelectual e tecnológica da humanidade desde a Antigüidade.
As medidas surgiram da necessidade de estabelecer comparações que permitissem o escambo entre as pessoas, quando as primeiras comunidades começaram a dispor de excedente agrícola, alguns milhares de anos antes de Cristo. Era preciso criar um sistema de equivalência entre o produto e um padrão previamente determinado que fosse aceito por todos os membros do grupo. As unidades primitivas tomaram como referência o corpo humano. Palmos, braços e pés ajudavam a dimensionar comprimento e área. Depois, vieram as balanças, as réguas, as ânforas e outras tantas medidas até a criação, em 1960, do sistema internacional de unidades, que estabelece grandezas universais para serem empregadas mundialmente.
Por viver num mundo já metrificado, você talvez ache muito natural — e até óbvio — que as distâncias sejam medidas em quilômetros e o arroz em quilos, por exemplo. Mas poderia ter sido diferente. Se o Brasil e boa parte do mundo não tivessem adotado o metro e as outras unidades exportadas pelo império napoleônico, talvez ainda usássemos o sistema imperial britânico, com suas jardas, onças e galões. E veríamos o mundo de outra maneira.
Conceber grandezas resultou da lenta e gradual sofisticação do pensamento humano, cujos primórdios remetem à Pré-História. "Medir foi uma maneira intuitiva de garantir a sobrevivência", diz o físico Giorgio Moscati, da Universidade de São Paulo (USP) e vice-presidente do Comitê Internacional de Pesos e Medidas, órgão gestor do sistema internacional de unidades. Há cerca de 30 mil anos, enquanto lascava pedras e manuseava ossos para fabricar instrumentos de caça e de defesa, o homem começou a avaliar dimensões. Comparava as lascas entre si e analisava se eram adequadas para o uso que esperava delas.
Quando caçava, aprendeu — após repetidas tentativas — a calcular a distância do alvo, a força com que deveria atirar a lança e a velocidade que deveria conferir ao arremesso. "Não se trata apenas de um comportamento instintivo", diz o historiador da ciência Ubiratan D'Ambrosio, da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). "A capacidade de avaliar dimensões surge de um pensamento abstrato que começa a despontar de modo tênue nesse homem primitivo."
Aves e mamíferos também estimam distâncias e aprendem a dosar a própria velocidade na hora de conseguir alimento, chegar ao ninho ou fugir de um predador. Mas é a relação entre custo e benefício que está por trás dessas estimativas. "Ao contrário do que acontece nos humanos, não se trata de um processo consciente", diz o neurofisiologista Gilberto Xavier, da USP. "O sistema nervoso desses animais acumula informações a partir de experiências prévias e gera predições baseadas na memória. As estimativas resultam, então, de um cruzamento de probabilidades."
Erros e acertos também modelaram a experiência humana. Mas o desenvolvimento da linguagem e, posteriormente, da cultura possibilitou ao homem identificar as diferentes dimensões presentes no ambiente e conferir-lhes um significado. "A vida em sociedade exigiu comunicação", diz Ubiratan. "A troca de impressões com os demais membros do grupo foi a base para a criação de um padrão comum." Assim surgiram os primeiros sistemas de medidas, que permitiam a todos compreender determinados conceitos, mesmo que não tivessem lidado com eles anteriormente.
Cada civilização da Antigüidade tinha o seu próprio sistema de medidas. No Egito, país onde foi inventada a balança cerca de 5 mil anos antes de Cristo, as medições eram consideradas de suma importância. Sustentavam o burocrático Estado egípcio. "Como a economia egípcia era baseada na agricultura e na cobrança de impostos, o uso de medidas padronizadas tornou-se fundamental", diz o egiptólogo Antonio Brancaglion, do Museu Nacional do Rio de Janeiro. Os escribas, que eram a base da administração e da burocracia do Egito antigo, controlavam as aferições, o uso correto das medidas e os registros dos produtos agrícolas.
As primeiras medidas egípcias, como as de outros povos da época, eram inspiradas no corpo humano. A unidade mais usada era o côvado, a distância do cotovelo até a ponta do dedo médio. O padrão real correspondia a 7 palmos ou 28 dedos, o que equivaleria hoje a 52,3 centímetros. Para medir áreas de plantações, os egípcios utilizavam cordas com nós - o que acabou originando uma atividade curiosa: a dos esticadores de corda. Para comparações de massa, eram usados pesinhos com formatos de animais, como leões e touros. Muitos deles foram encontrados em tumbas e pirâmides. Os egípcios viam os instrumentos de medida como artefatos muito valiosos. "Réguas e balanças eram sepultadas junto com seus proprietários", diz Antonio. "Existiram casos em que as réguas eram folheadas a ouro e dadas de presente pelo faraó ao dignitário."
Na Roma antiga, as medidas oficiais também eram valorizadas e respeitadas. No centro de todas as cidades do Império Romano, funcionava uma espécie de escritório onde havia uma bancada com os principais padrões, tanto de comprimento quanto de volume. "Os romanos iam até lá para conferir as medidas de suas ânforas e réguas", diz o historiador e arqueólogo Pedro Paulo Funari, da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). "Obviamente, devido às limitações da época, tais padrões não eram tão precisos." O sistema romano de medidas, bastante influenciado pelo grego (a Grécia foi conquistada em 146 a.C.), era composto de unidades como polegada, pé, onça e libra. Os nomes serviram de inspiração para as medidas usadas ainda hoje no sistema imperial britânico. Os valores, no entanto, não são os mesmos.
A primeira tentativa de unificação das medidas veio com o imperador francês Carlos Magno (768-814), no século 8. Ele criou, por exemplo, um conjunto de pesos chamado de "pilha de Carlos Magno" e instituiu a libra esterlina (equivalente hoje a 350 gramas). Mas essas unidades não perduraram. Durante a Idade Média, cada senhor feudal manteve, dentro das terras que lhe pertenciam, os seus próprios padrões de medida. Era uma forma de dominação. "Quem controlava as medidas detinha o poder", diz Giorgio Moscati. As medições se tornaram arbitrárias e, não raro, a população era explorada pelos abusos fraudulentos de mercadores e senhores feudais, que usavam padrões pequenos para a venda de mercadorias e grandes para a compra dos produtos agrícolas.
O uso de diferentes padrões de medidas entre as nações e mesmo dentro de um único país vigorou durante toda a Idade Moderna. O absolutismo político reinante na Europa não dava espaço para a revolucionária idéia de padronizar as medições. Para você ter uma idéia, uma das unidades de comprimento mais comuns na França daquela época era o pied-de-roi ("pé-de-rei"), que hoje equivaleria a 32,5 centímetros. O pied-de-roi oficial de Paris valia 1,1 da medida usada em Bordeaux e 0,9 daquela que se utilizava na região de Lorraine. Isso significa que a mesma medida - uma corda de 5 pés-de-rei, por exemplo - tinha comprimentos distintos de acordo com a região do país. Tomando o pied-de-roi de Paris como referência, em Bordeaux a corda teria 4,54 pés-de-rei. Em Lorraine, chegaria a 5,55.
Essa diversidade de medidas obstruía a comunicação e o comércio e atrapalhava a administração racional do Estado. Além disso, tais medidas raramente eram precisas. "Até o fim do século 18, a precisão não era essencial porque a prática capitalista ainda não estava difundida no mundo", diz o historiador da ciência Shozo Motoyama, da USP. "A precisão adquire importância quando se passa a considerar o lucro e o ganho que cada um pode obter numa transação econômica." A decisão de criar um modelo de unidades que fosse universal, prático e exato finalmente se concretizou com a Revolução Francesa, em 1789. O rompimento com as tradições feudais e absolutistas abriu caminho para idéias inovadoras.
Sob os preceitos do Iluminismo, movimento ideológico que considerava a razão como o pilar do desenvolvimento humano, a Academia Francesa de Ciências assumiu a incumbência de criar medições padronizadas (foi também um modo de os cientistas salvarem a pele diante dos revolucionários, que os viam como partidários do rei). O plano era elaborar um sistema de unidades baseado num padrão da natureza, imutável e indiscutível. Como a natureza não pertence a ninguém, tal padrão poderia ser aceito por todas as nações, inclusive a rival Inglaterra, e se tornaria um sistema universal.
A Academia convencionou que a unidade-padrão de comprimento seria a décima milionésima parte da distância entre o Pólo Norte e o Equador. Para obtê-la, era necessário medir um arco — ou seja, um segmento — de um meridiano terrestre. Assim, por extrapolações astronômicas, era possível calcular o comprimento total do meridiano. Uma equipe de cientistas, liderada pelos astrônomos Jean-Baptiste Delambre (1749-1822) e Pierre Méchain (1744-1804), se dedicou, durante sete anos, à missão, iniciada em 1792. O resultado da aventura foi a definição do metro - um padrão constante e universal, com múltiplos e submúltiplos, cujo primeiro protótipo foi uma barra de platina regular.
"O sistema métrico é um modelo muito inteligente porque se baseia na linguagem decimal — uma linguagem prática e lógica", afirma Ubiratan D'Ambrosio.
Os padrões de massa e volume foram calculados a partir do metro, seguindo o mesmo princípio. O grama foi definido como a massa de 1 decímetro cúbico de água pura a 4ºC, temperatura em que atinge a maior densidade.
O litro passou a equivaler ao volume de um cubo com 10 centímetros de lado (ou seja, 1 decímetro cúbico). Foi uma mudança e tanto. O governo francês investiu em campanhas educativas para divulgar as novas medidas. Gravuras ensinavam a conversão das unidades e o uso de cada uma delas: em vez da pinta, o litro; no lugar da libra, o grama; para substituir a alna, o metro; e assim por diante.
Apesar da revolução no pensamento e na concepção de mundo, um fator não mudou: as medidas continuaram a ser usadas como instrumento de poder. "O conceito de medida universal pertencia àqueles que detinham o poder imperial ou que estavam sob a influência do império", diz Ubiratan. Na época, dois impérios rivalizavam em equilíbrio de poder: o francês, sob o comando de Napoleão Bonaparte (1769-1821), e o inglês. Por isso, a França e todos sob sua influência direta ou indireta adotaram o sistema métrico decimal - como o Brasil, que, em 1862, por decreto de dom Pedro II, abandonou as medidas de varas, braças, léguas e quintais para aderir ao metro. A Inglaterra e os países do Commonwealth (comunidade de língua inglesa) mantiveram o sistema imperial britânico, com mais de oito séculos de existência.
Hoje, o sistema internacional de unidades estabelece que o metro é a medida oficialmente usada nas atividades científicas, econômicas e industriais. A definição dessa grandeza foi reformulada ao longo das diversas Conferências Gerais de Pesos e Medidas, reuniões periódicas entre representantes de vários países para deliberar a respeito dos padrões e seu uso corrente. Segundo a definição atual, "o metro equivale a 299 792 458 avos da distância percorrida pela luz no vácuo durante um segundo".
Inglaterra, Estados Unidos e outros adeptos do sistema britânico reconheceram a importância de adotar o sistema métrico decimal. No entanto, nesses países ainda há resistência em usar as unidades internacionais de comprimento, massa e volume. "Trata-se de uma transição lenta, pois é difícil convencer as pessoas, acostumadas com um determinado sistema de medida, a mudarem totalmente seus hábitos", diz Giorgio Moscati. No ano passado [2002], um quitandeiro inglês da cidade de Sunderland, no extremo norte da Inglaterra, foi multado por continuar vendendo frutas usando a libra, como medida de peso, em vez do quilo. Ele contrariou as regras da União Européia, segundo as quais todos os países membros devem utilizar o sistema métrico nas transações comerciais.
A coexistência de dois sistemas de medida também causou confusão, dessa vez nos Estados Unidos. Em 1999, a Nasa perdeu a sonda Mars Climate Orbiter por causa de informações conflitantes dos controladores de vôo. A nave foi abastecida com dados do sistema métrico decimal e também do sistema imperial britânico e os computadores não foram capazes de identificar as diferenças entre os valores transmitidos.
No Brasil, o Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial (Inmetro) é o órgão responsável pela manutenção dos padrões do sistema internacional de unidades. Calibra os instrumentos de precisão usados pela indústria, pelo comércio e por centros de pesquisa, além de cuidar da regulamentação das embalagens e produtos pré-medidos, como cremes dentais, sabonetes, bebidas etc. "No Brasil, é ilegal vender produtos em unidades que não pertençam ao sistema internacional", diz Giorgio Moscati. "Mesmo os produtos importados e embalados na origem, como perfumes, licores e enlatados, devem ter uma etiqueta em português com a medida correspondente."
Ao Inmetro estão ligados os Institutos de Pesos e Medidas (Ipem), órgãos estaduais que fiscalizam o cumprimento da legislação sobre metrologia. Balanças fraudadas, bombas de gasolina alteradas e outros truques favorecem a concorrência desleal e prejudicam o consumidor. O impacto das imprecisões, em larga escala, é bastante significativo. "Já comprovamos que 1 centímetro a menos no comprimento e na largura do bloco cerâmico representa 8% de custo a mais na obra", afirma Adejayr Cyro Trigo, superintendente do Ipem de São Paulo.
A preocupação com a exatidão das medidas é antiga. O livro bíblico dos Provérbios diz:
"Ter dois pesos e duas medidas é objeto de abominação para o Senhor".
E para a sociedade também. Afinal, todo o progresso científico e tecnológico está diretamente atrelado ao uso adequado das medidas.
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Para saber mais
Na livraria
The measure of All Things - The Seven-Year Odissey and Hindde Error that Transformed the World, Ken Alder, The Free Press, 2002
Lobo do Leste- Mensagens : 455
Re: Curiosidades Matemáticas
por FIAT LUX 8/2/2024, 18:17
A explicacão do universo - Mandelbrot
Pegue uma equação simples, mas realmente ULTRA SIMPLES, talvez a mais simples que existe:
Z = Z*Z + C
E invoque-a dentro de sí mesma recursivamente, de novo e de novo e de novo, infinitamente, e algo maravilhoso irá acontecer: Um universo 2D completo surgirá, com as estruturas geométricas semelhantes a tudo que vemos no nosso (plantas, bactérias, montanhas, nuvens, galáxias, furacões, raios, DNA, TUDO está de alguma forma presente nele).
O fractal de Mandelbrot talvez tenha sido a maior descoberta da humanidade, e muito poucos ainda o compreendem, estudam e ENTENDEM O IMPACTO DE SUA DESCOBERTA. Nosso universo pode ser uma super-mega versão quântica de algo semelhante ao fractal de Mandelbrot, e talvez a explicação de tudo se resuma a uma equação igualmente e ridiculamente SIMPLES!!!
Pegue uma equação simples, mas realmente ULTRA SIMPLES, talvez a mais simples que existe:
Z = Z*Z + C
E invoque-a dentro de sí mesma recursivamente, de novo e de novo e de novo, infinitamente, e algo maravilhoso irá acontecer: Um universo 2D completo surgirá, com as estruturas geométricas semelhantes a tudo que vemos no nosso (plantas, bactérias, montanhas, nuvens, galáxias, furacões, raios, DNA, TUDO está de alguma forma presente nele).
O fractal de Mandelbrot talvez tenha sido a maior descoberta da humanidade, e muito poucos ainda o compreendem, estudam e ENTENDEM O IMPACTO DE SUA DESCOBERTA. Nosso universo pode ser uma super-mega versão quântica de algo semelhante ao fractal de Mandelbrot, e talvez a explicação de tudo se resuma a uma equação igualmente e ridiculamente SIMPLES!!!
FIAT LUX- Mensagens : 179
Mr. Enigma- Mensagens : 233
Re: Curiosidades Matemáticas
por Mr. Enigma 8/2/2024, 18:19
O mais interessante é que há enormes espaços "vazios" entre as formas menores e mais complexas, exatamente pela matemática da coisa. Isso impressiona, pois quando nos damos conta pela primeira vez da quantidade de espaço vazio no universo, ficamos embasbacados. Se o Sol fosse do tamanho de um grão de areia, alpha de Centauro (estrela mais próxima), outro grão de areia, estaria a alguns km de distância.
Mr. Enigma- Mensagens : 233
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