Teoria da Relatividade

A Relatividade Especial é uma consequência direta do Eletromagnetismo Clássico, pois as Equações de Maxwell não são Covariantes!

O exercício mental mais simples para se verificar esse fato é o seguinte:

1) Imaginemos um referencial inercial contendo uma carga em repouso e um observador em repouso. Esse observador irá calcular para um lugar arbitrário do espaço o Campo Elétrico usando a Lei de Gauss (válida para a eletrostática):

[;\vec \nabla \cdot \vec E = \frac {\rho}{\varepsilon_0};].

Mais ainda, por não haver movimento relativo, o Campo Magnético é igual a zero.


2) Imaginemos o mesmo referencial e a mesma carga elétrica em repouso, porém com um observador em movimento. Por um efeito de movimento relativo, para o observador é a carga quem se move no sentindo inverso ao seu e por isso ele poderia medir o Campo Magnético usando a Lei de Ampère:

[; \vec \nabla \times \vec H = \vec J ;].

Mais ainda, se o Campo Magnético não variar no tempo, nesse referencial não haverá Campo Elétrico.

Em suma, as Equações de Maxwell dependem do observador, ou seja, um mesmo fenômeno precisa ser explicada usando Leis diferentes dependendo do observador. Para resolver esse problema de "dois pesos, duas medidas" no Eletromagnetismo, Lorentz propôs a seguinte solução:

A Lei de Lorentz (que é inversa à Lei de Faraday), nos diz que:

[;\vec{\partial E}=\vec{v} \times \vec{\partial B};],

mas que, no caso da onda eletromagnética, pode ser escrita na forma das normas dos vetores:

[;\partial E=c \partial B;].

Elevando ao quadrado os dois membros da igualdade e trazendo os termos para um único membro temos:

[;\partial E^{2}-c ^{2} \partial B^{2}=0;].

Mais ainda, escrita desta forma, a igualdade a zero vale para campos elétricos e magnéticos em qualquer referencial inercial, ou seja:

[;\partial E^{2}-c ^{2} \partial B^{2}=\partial E'^{2}-c ^{2} \partial B'^{2}=\partial E''^{2}-c ^{2} \partial B''^{2}=...=0;]

Em um arroubo de genialidade, Lorentz procurou uma transformação linear que pudesse relacionar os campos nos diversos referenciais possíveis!

Vamos deduzir matematicamente essa transformação usando um referencial em repouso, [;S;], e um referencial arbitrário em movimento, [;S';]. Isto é:

[;\partial E^{2}-c ^{2} \partial B^{2}=\partial E'^{2}-c ^{2} \partial B'^{2};].

Escrevendo na forma matricial temos:

(1) [;\left ( \begin{matrix} \partial E & c\partial B \end{matrix} \right );][;\left ( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right );][;\left ( \begin{matrix} \partial E \\ c\partial B \end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} \partial E' & c\partial B' \end{matrix} \right );][; \left ( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right )\left ( \begin{matrix}\partial E' \\ c\partial B' \end{matrix} \right );].

Então uma matriz de transformação linear de [;S;] para [;S';] tornaria (1) uma igualdade tal que:

(2) [;\left ( \begin{matrix} \partial E & c\partial B \end{matrix} \right );][; \left ( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right );][;\left ( \begin{matrix} \partial E \\ c\partial B \end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} \partial E' & c\partial B' \end{matrix} \right );][; \Lambda ^{T} \left ( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right ) \Lambda \left ( \begin{matrix}\partial E' \\ c\partial B' \end{matrix} \right );],

com [;\Lambda;] a matriz de transformação linear e [;\Lambda^{T};] sua transposta.
Em (2) a igualdade só será satisfeita se, e somente se:

[;\left ( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right )=\Lambda ^{T} \left ( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right ) \Lambda;],

com [; \Lambda = \left ( \begin{matrix} \lambda_{11} & \lambda_{12} \\ \lambda_{21} & \lambda_{22} \end{matrix} \right ) ;]

Assim, resolvendo a identidade:

[;\left ( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right )=\Lambda ^{T} \left ( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right ) \Lambda;],

temos:

[;\left ( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right )= \left ( \begin{matrix} \lambda_{11} & \lambda_{21} \\ \lambda_{12} & \lambda_{22} \end{matrix} \right );][; \left ( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix} \lambda_{11} & \lambda_{12} \\ \lambda_{21} & \lambda_{22} \end{matrix} \right );],

ou simplesmente:

[;\left \{ \begin{matrix} \lambda_{11}^{2}-\lambda_{21}^{2}=1 \\ \lambda_{12}^{2}-\lambda_{22}^{2}=-1 \\ \lambda_{11}\lambda_{12}-\lambda_{21}\lambda_{22}=0 \end{matrix};].

Por tanto:

[;\lambda_{11}\lambda_{12}=\lambda_{21}\lambda_{22}\Rightarrow\frac{\lambda_{21}}{\lambda_{11}} =\frac{\lambda_{12}}{\lambda_{22}}\equiv \beta;]

e

[;\lambda_{11}=\lambda_{22}= \frac{1}{\sqrt{1-\beta ^{2}}}\equiv \gamma ;] (chamado fator de Lorentz),


que torna a matriz de transformação:

[; \Lambda = \left ( \begin{matrix} \gamma & \beta \gamma \\ \beta \gamma & \gamma \end{matrix} \right ) ;],

que é a tão conhecida Transformação de Lorentz!

Dessa forma, só falta descobrir quem é [;\beta;]. Sabendo, então, que a Transformação de Lorentz é de [;S;] em [;S';], ou seja:

(3) [; \left ( \begin{matrix} c\partial B' \\ \partial E' \end{matrix} \right )= \left ( \begin{matrix} \gamma & \beta \gamma \\ \beta \gamma & \gamma \end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix} c\partial B \\ \partial E \end{matrix} \right );],

podemos escolher um [;S;] tal que [;E=0;] e simplificar (3) para:

[;\left \{ \begin{matrix} \partial B'= \gamma\partial B\\ \partial E'= \gamma\beta c\partial B \end{matrix} \right.;].

Como [;\partial E'=-c\partial B';], para um [;S';] com velocidade [;c;], então:

[;\beta=-\frac{v}{c};]

No entanto, o principal enfoque de Lorentz e outros pesquisadores na área como Poicaré e Fitzgerald era o Eletromagnetismo. As transformações foram deduzidas de maneira puramente matemática e ainda pairavam dúvidas sobre a validade delas para substituir as Transformações de Galileo.

A dedução geométrica e usando conceitos físicos é atribuída a Albert Einstein e é a mais difundida nos livros atuais. Também é atribuído a Einstein os Postulados da Relatividade Especial:

1) Princípio da Covariância: "As leis naturais são iguais independendo do referencial inercial adotado, respeitando as Transformações de Lorentz".

2) Invariância da Luz: "A velocidade da luz é a mesma para qualquer referencial inercial, independendo da velocidade da fonte e do receptor".

Sim, a dedução da transformação de Lorentz diretamente pelas E.M. tem um quê de genial. Quando eu tiver uma paciência maior eu escrevo aqui como deduzir ela usando cromodinamica quântica! É maravilhoso!

Quadrimomentum e Quadri-energia

Como deduzido anteriormente, as Transformações de Lorentz tornam o Eletromagnetismo covariante, assim como demonstram que não faz mais sentido considerar campos elétricos e magnéticos de forma separada.

Já a proposta de Einstein permitiu que as transformações de coordenadas também fossem feitas sem constrangimento pelo trabalho de Lorentz. No entanto, isso implica que o tempo e o espaço não são mais tratados independentemente, sendo, então, considerados em um único ente teórico denominado espaçotempo. Mais ainda, com a adição do tempo, o Universo passa a ser descrito como um espaço quadridimensional na forma mais simples:

[; \begin{pmatrix} ct'\\ x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} = ;] [; \begin{pmatrix} \gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\ \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ;] [; \begin{pmatrix} ct\\ x\\ y\\ z \end{pmatrix} ;].

Note que essa transformação é valida quando a velocidade relativa entre os referenciais possui somente componente nas direções [; x ;] e [; x' ;]. Para uma transformação mais geral, basta transformar por rotação as coordenadas espaciais.

Também é interessante notar que essa transformação implica na identidade:

[; c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = c^2 t'^2 - x'^2 - y'^2 - z'^2 = c^2 t''^2 - x''^2 - y''^2 - z''^2 = ... ;].

A grande contribuição de Einstein para o, até então, chamado Princípio da Covariância, que mais tarde ficaria famoso como Teoria da Relatividade Especial, foi a dedução do momentum linear e da energia para quatro dimensões.

Ao aplicar o primeiro postulado, ele propôs que:

[; \begin{pmatrix} p_0'\\ p_x'\\ p_y'\\ p_z' \end{pmatrix} = ;] [; \begin{pmatrix} \gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\ \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ;] [; \begin{pmatrix} p\\ p_x\\ p_y\\ p_z \end{pmatrix} ;],

em que [; p_x ;], [; p_y ;] e [; p_z ;] são as componente do vetor momentum linear, [; \vec p ;] e [; p_0 ;] é um valor desconhecido até então (o mesmo vale para o os elementos no referencial [; S' ;]).

Essa transformação nos leva à seguinte identidade:

(4) [; c^2 p_0^2 - p_x^2 - p_y^2 - p_z^2 = c^2 p_0'^2 - p_x'^2 - p_y'^2 - p_z'^2 = c^2 p_0''^2 - p_x''^2 - p_y''^2 - p_z''^2 = ... = Q ;],

na qual [; Q ;] é uma constante em um referencial especial em que o momentum linear ordinário é nulo.

Assim podemos reescrever a transformação anterior para:

[; \begin{pmatrix} p_0\\ p_x\\ p_y\\ p_z \end{pmatrix} = ;] [; \begin{pmatrix} \gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \\ -\beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ;] [; \begin{pmatrix} Q \\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} ;].

Note que agora usamos a transformação inversa de Lorentz.

Dessa maneira, chegamos a duas equações: [; p_0 = \gamma Q ;] e [; p_x = -\beta \gamma Q ;].

Como sabemos que [; p_x = mv ;] para baixas velocidades, logo concluímos que [; Q = mc ;]. Então chegamos finalmente que [; p_0 = \gamma mc ;] e que [; P = \gamma m (c,v,0,0) ;] é chamado de quadrimomentum linear.

A partir disso, fazendo a expansão em série em torno de [; \gamma = 1 ;], temos que:

[; p_0 = mc + \frac {mc\beta^2}{2}+... ;]

e notamos que, se multiplicarmos os dois membros da igualdade por [; c ;], o segundo termo da expansão é exatamente a energia cinética, [; K ;]! Assim, desprezando os termos superiores da expansão, a quadri-energia é dada por:

[; E = mc^2 + K ;].

Note que essa quadri-energia não é nula mesmo que a o corpo esteja em repouso, ou seja, quando a energia cinética é nula. A esse primeiro termo da expansão dá-se o nome de Energia do Repouso.

Cinemática e notação quaterniônica

Já em outro tópico mencionei a existência de uma forma alternativa para descrever a mecânica dos corpos, um pouco mais antiga que a usada atualmente. É de praxe que os alunos, até mesmo na graduação em Física, nem ouçam falar nessa notação graças ao loob da notação vetorial.

Há séculos um assunto intrigou os matemáticos: a existência de certas soluções que apresentavam raízes de números negativos, como, por exemplo, quando tentamos uma solução para equações do segundo grau (equações de parábolas).

Equação Geral do Segundo Grau: [; y = ax^2 + bx + c ;]
Equação de Bhaskara: [; x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}} {2};]

Quando tentamos resolver a equação do segundo grau no caso em que não há intersecção da parábola com o eixo x, então o termo dentro da raíz quadrada na equação de Bhaskara é negativo. Em geral, devido a isso, era comum considerar que simplesmente não havia solução.

O problema só foi resolvido independentemente por Caspar Wessel (1799), Jean-Robert Argand (1813) e Carl Friedrich Gauss (1831), que demonstraram que objetos formados por uma parte real e outra imaginária (advinda da raíz quadrada de um número negativo) eram também números. Eles foram denominados Números Complexos.

Além do problema matemático que se arrastava desde a antiguidade, o estudo dos números complexos recebeu uma motivação extra que vinha da Física. Já no final do século XVII, Gottfried Leibniz chamava a atenção da comunidade científica sobre a necessidade da criação de dispositivos matemáticos que permitissem descrever a mecânicas dos corpos sem o uso de desenhos ilustrativos e da geometria tradicional. Dessa forma, a representação cartesiana dos números complexos despertou a vontade de estender seus conceitos para três dimensões, afim de utilizá-las na Física.

A forma mais intuitiva foi a proposição de ternas (uma parte real e duas imaginárias), que apresentavam problemas em relação a multiplicação e não possuiam, por isso, uma álgebra "fechada". O problema só foi resolvido em 1843 por William Rowan Hamilton ao perceber que a substituição das ternas por quadras (uma parte real e três imaginárias) resultava em uma álgebra "fechada". Mais tarde, essas quadras ficaram conhecidas como Quatérnions.

Forma Geral de um Quatérnion: [; q = a + b \hat i +c \hat j + d \hat k ;], com [; a, b, c, d \in \mathbb{R} ;] e [; \hat i, \hat j, \hat k ;] os versores imaginários que possuem as seguintes propriedades:

1) [; {\hat i}^2 = {\hat j}^2 = {\hat k}^2 = -1;]
2) [; \hat i \hat j = - \hat j \hat i = \hat k ;]
3) [; \hat j \hat k = - \hat k \hat j = \hat i ;]
4) [; \hat k \hat i = - \hat i \hat k = \hat j ;]

Essa notação foi muito revolucionária em sua época, sendo expandida em seguida por Arthur Cayley e por Leonard Eugene Dickson a outros números hipercomplexos, como os Octônions (uma parte real e sete imaginárias) e os Sedênions (uma parte real e quinze imaginárias). É interessante notar que para ter uma álgebra "fechada" é necessário que o número possua [; 2^n ;] termos.

No entanto, a notação quaterniônica possuia um problema aparente muito desconfortável para a época, pois era uma notação com quatro "dimensões", sendo que o Universo acreditava-se ter apenas três. Por exemplo, para descrever o quatérnion posição

[; r = x \hat i + y \hat j + z \hat k ;],

não havia uma explicação para a ausência do termo real.

Dessa forma, em uma onda de discussões acaloradas entre 1891 e 1894, a notação de quatérnions foi quase que completamente substituída pela notação vetorial atual, incentivada principalmente por Josiah Willard Gibbs e Oliver Heaviside.

Eu digo que a conclusão é refutável, pois tal resultado não pode ser obtido sem que seja considerada a força ômega produzida pelos elétrons em sua passagem de um corpo a outro quando estes corpos são induzidos por dínamos de alta potência.

Portanto, meu jovem, reveja seus cálculos.

É interessante notar que nos 10 anos seguintes se desenvolveu uma mudança nos paradigmas da Mecânica Clássica, encabeçada por Albert Abraham Michelson na parte experimental e Jules Henri Poincaré e Hendrik Antoon Lorentz na parte teórica. Finalmente, graças aos trabalhos desses últimos, é que Albert Einstein publicou seu trabalho sobre "O Princípio da Covariância" em 1905, que mais tarde ganhou o nome de Teoria da Relatividade Especial.

O objetivo desse tópico é tratar a Relatividade Especial em um formalismo quaterniônico, divergindo do tradicional formalismo à partir da notação vetorial de Hermann Minkowski (o chamado Espaço Minkowskiano).

Iremos definir, agora, o quatérnio posição como

[; q = ct + x \hat i + y \hat j + z \hat k ;],

na qual a parte real é proporcional ao tempo pela constante da velocidade da luz no vácuo, [; c ;], e definir uma operação [; \bigodot ;], chamada produto interno, na qual

[; q_1 \bigodot q_2 = c^2 t_1 t_2 + {\hat i}^2 x_1 x_2 + {\hat j}^2 y_1 y_2 + {\hat k}^2 z_1 z_2 = c^2 t_1 t_2 - x_1 x_2 - y_1 y_2 - z_1 z_2 ;].

Se [; q \in S ;], na qual [; S ;] é um conjunto que representa um referencial em repouso, e [; S' ;], [; S'' ;] e etc., com seus respectivos [; q' ;], [; q'' ;] e etc., são referenciais distintos e em movimento em relação a [; S ;], então a Relatividade Especial exige que

(5) [; q \bigodot q = q' \bigodot q' = q'' \bigodot q'' = ... ;].

Para facilitar a visualização, iremos usar como exemplo a igualdade entre os termos em [; S ;] e os em [; S' ;] na equação (1):

(6) [; q \bigodot q = q' \bigodot q' \Rightarrow c^2 t^2 + {(x \hat i)}^2 + {(y \hat j)}^2 + {(z \hat k)}^2 = c^2 t'^2 + {(x' \hat i)}^2 + {(y' \hat j)}^2 + {(z' \hat k)}^2 ;].

Por outro lado, queremos encontrar a transformação [; T ;] que leva elementos de [; S ;] em [; S ;], ou seja:

[; T : S \to S' \Rightarrow \begin{pmatrix} ct' \\ x' \hat i \\ y' \hat j \\ z' \hat k \end{pmatrix} = \Omega \begin{pmatrix} ct \\ x \hat i \\ y \hat j \\ z \hat k \end{pmatrix} ;],

onde [; \Omega ;] é a matriz de transformação de [; S ;] para [; S' ;].

Para simplificar os cálculos iremos considerar apenas um movimento da direção [; \hat i ;]. Dessa forma, para que [; \Omega ;] satisfaça a equação (2), então:

[; \Omega = \begin{pmatrix} \gamma & - \beta \gamma & 0 & 0 \\ \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ;], com [; \gamma = \frac {1} {sqrt {1 + \beta^2} } ;] e [; \beta = \frac {v \hat i} {c} ;].

É interessante notar que os resultados são os mesmos da Relatividade usando os vetores convencionais, e, como [; \beta ;] é um número imaginário, chegamos a [; \gamma = \frac {1} {sqrt {1-\frac {v^2} {c^2} } } ;] .A vantagem do uso dos quatérnions, à pesar de parecer mais complicado num primeiro momento, é a naturalidade com que se pode trabalhar com operações de adição e multiplicação. A forma vetorial tradicional só define operações de produto vetorial, ou produto externo, válidas em [; \mathbb{R} ^3 ;], por exemplo, o que não nos é interessante em mais dimensões.

Uma premissa fundamental da TRE é a da constância da velocidade da luz: A velocidade da luz no vácuo é a mesma para todos os observadores, independentemente do movimento da fonte de luz ou do observador.

Quando um corpo está em movimento e sabemos a sua massa m e sua velocidade v, podemos calcular sua quantidade de movimento p.

Um princípio fundamental da quantidade de movimento é a sua conservação caso esteja em um sistema fechado.

Então vamos considerar um sistema fechado hipotético, por exemplo um emissor de fótons no vácuo longe o suficiente de toda a matéria para que os efeitos da força gravitacional ou quaisquer outras forças não interfiram na sua inércia.

Digamos que este emissor esteja em repouso em relação a Terra. Sua quantidade de movimento será então (p= m.v). Como a velocidade do emissor neste caso é zero, então sua quantidade de movimento também será zero.

Agora digamos que este emissor, nas mesmas condições anteriores, emite um feixe de luz em direção a Terra. Como a quantidade de movimento neste sistema se conserva, então a quantidade de movimento do emissor mais a quantidade de movimento do feixe de luz tem de ser igual a zero.

Já sabemos que a quantidade de movimento do emissor é zero porque está em repouso em relação a Terra. Então a única forma da soma das quantidades de movimento serem zero é a quantidade de movimento do feixe de luz ser zero também.

Porém o feixe de luz possui velocidade constante igual a C. Logo a única variável da equação (p= m.v) que zere a quantidade de movimento do feixe de luz é a massa m.

Desta forma, partindo da premissa inicial da TRE, chega-se a conclusão de que a luz(fótons) não possuem massa!!

Continuando...

Podemos, como exemplo, verificar a multiplicação entre o quatérnion que representa uma Força arbitrária e independente do tempo que atua sobre um ponto do espaço e o correspondente quaterniônico ao operador Nabla:

[; F = F_x \hat i + F_y \hat j + F_z \hat k ;]
[; \nabla = \frac {\partial} {\partial x} \hat i + \frac {\partial} {\partial y} \hat j + \frac {\partial} {\partial z} \hat k ;].

Assim:

[; \nabla F = \frac {\partial} {\partial x} \hat i \left ( F_x \hat i + F_y \hat j + F_z \hat k \right ) ;] [;+ \frac {\partial} {\partial y} \hat j \left ( F_x \hat i + F_y \hat j + F_z \hat k \right ) ;] [;+ \frac {\partial} {\partial z} \hat k \left ( F_x \hat i + F_y \hat j + F_z \hat k \right ) = ;]

[; =- \left( \frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z} \right);] [;+ \frac{\partial F_{y}}{\partial x}\hat{i}\hat{j};] [;+ \frac{\partial F_{z}}{\partial x}\hat{i}\hat{k};] [;+ \frac{\partial F_{x}}{\partial y}\hat{j}\hat{i};] [;+ \frac{\partial F_{z}}{\partial y}\hat{j}\hat{k};] [;+ \frac{\partial F_{x}}{\partial z}\hat{k}\hat{i};] [;+ \frac{\partial F_{y}}{\partial z}\hat{k}\hat{j}= ;]

(usando as regras de ortogonalidade entre os versores imaginários)

[; = - \left ( {\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z} } \right ) ;][; +\left ( {\frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z} } \right ) \hat{i} ;][; +\left ( {\frac{\partial F_{x}}{\partial z} - \frac{\partial F_{z}}{\partial x} } \right ) \hat{j} ;][; +\left ( { \frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y} } \right ) \hat{k};].

Esse resultado nada mais é que, na parte real, o equivalente a menos o divergente da Força e, na parte imaginária, o rotacional da Força em nomenclatura do cálculo vetorial convencional.

Por uma questão de convenção, a parte real do quatérnion será doravante chamada de Escalar e a parte acompanhada dos versores imaginários será doravante chamada de Vetorial.

De uma mesma maneira podemos fazer o cálculo, tranquilamente, quando os quatérnions envolvidos na multiplicação possuem escalar diferente de zero. Por tanto, acabamos de desenvolver uma álgebra capaz de descrever operações entre objetos quadri-dimensionais.

Voltando ao assunto de Relatividade, as transformações, tanto da forma convencional quanto da forma exposta aqui neste tópico, são bem comportadas para velocidades abaixo da velocidade da luz (infralumiares), mas apresentam um caráter curioso para velocidades superlumiares (acima da velocidade da luz).

O parâmetro [; \gamma ;], também conhecido como fator de Lorentz, se torna imaginário para velocidades superlumiares, o que abre uma encruzilhada teórica! Será que esse imaginário é um [; i ;], um [; j ;], um [; k ;] ou um novo imaginário não tratado antes? Escolhendo arbitrariamente (já que os motivos seriam muito longos para expor aqui), iremos prosseguir propondo a existência de mais um imaginário, que se chamará [; l ;].

Sendo [; c, t, x, y, z \in \mathbb{R} ;], com o aparecimento desse [; l ;] nas transformações, a matemática vista até agora deixa de fazer sentido e surge a necessidade de repensar se os elementos do quatérnion são realmente reais. Para que a matemática faça sentido é impreterível que os elementos sejam complexos e da forma [; a + b \hat l ;].

Dessa forma iremos dizer que [; x, y, z ;] são as partes reais dos respectivos complexos [; \xi , \upsilon , \zeta ;] e arbitrar que [; c ;] é a parte real de um complexo [; \chi ;] e que [; t ;] permanece um número real puro, mantendo-se hermético. Finalmente, obteremos um falso octônion (pois, a pesar de se assemelhar, não é um genuíno Octônion) de posição da forma:

[; o = \chi t + \xi \hat i + \upsilon \hat j + \zeta \hat k ;],

em que [; \chi = c + \tilde c \hat l ;], [; \xi = x + \tilde x \hat l ;], [; \upsilon = y + \tilde y \hat l ;] e [; \zeta = z + \tilde z \hat l ;].

Seguindo esse caminho, a equação (2) passa a ser escrita como

(3) [; \chi^2 t^2 + {(\xi \hat i)}^2 + {(\upsilon \hat j)}^2 + {(\zeta \hat k)}^2 = \chi^2 t'^2 + {(\xi' \hat i)}^2 + {(\upsilon' \hat j)}^2 + {(\zeta' \hat k)}^2 ;].

A transformação de [; S ;] para [; S' ;] passa a ser escrita como:

[; \begin{pmatrix} \chi t' \\ \xi' \hat i \\ \upsilon' \hat j \\ \zeta' \hat k \end{pmatrix} = \Omega \begin{pmatrix} \chi t \\ \xi \hat i \\ \upsilon \hat j \\ \zeta \hat k \end{pmatrix} ;], com

[; \Omega = \begin{pmatrix} \gamma & - \beta \gamma & 0 & 0 \\ \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ;], sendo [; \gamma = \frac {1} {sqrt {1 + \beta^2} } ;] e [; \beta = {\frac {\nu} {\chi}} \hat i ;]. A quantidade [; \nu = \frac {d \xi} {d t} ;].

É importante notar que o resultado obtido não forma realmente um octônion, que seria um [; \mathbb{R} ^8 ;], mas algo chamado de biquatérnion, que é um [; \mathbb{C} ^4 ;], mesmo porque os octônions não poderian ser expressos em termos de matrizes, pois não são assossiativos. Note também que a matriz de transformação também é complexa.

Em termos canônicos, dizemos que o espaçotempo ainda é quadri-dimensional mesmo que seja sobre variedades complexas, mas em física podemos usar um raciocício diferente.

Definimos por campatificação a mudança de variáveis reais para complexas, ou seja, no caso apresentado compatificamos as coordenadas espaciais e não compatificamos a coordenada temporal, gerando um espaçotempo dito heptadimensional. Dessa maneira, deixando o rigor matemático e usando uma definição usal em física, podemos dizer que temos seis coordenadas espaciais e uma temporal.

A principal vantagem na aplicação de biquatérnions é o cálculo das transformações entre referenciais inerciais quando a velocidade entre eles é superlumiar. Vamos a um exemplo:

Supondo que não haja movimento nas direções [; \hat j ;] e [; \hat k ;] e que o movimento em [; \hat i ;] possua parte imaginária igual a zero, ou seja, [; \xi = x ;], vamos calcular a transformação de [; S ;] para [; S' ;] supondo uma velocidade de [; 2 \chi ;].

A transformação temporal é dada por [; \chi \Delta t' = \gamma \left ( \chi \Delta t - \beta \Delta \xi \right ) ;], substituindo pela pelos dados do problema fica:

[; \chi \Delta t' = {\frac {1}{\sqrt {1-4}}} \left ( \chi \Delta t - 2 \Delta x \right ) \Rightarrow ;]
[; \Rightarrow \chi \Delta t' = {\frac {\sqrt 3}{3}} \hat l \left ( \chi \Delta t - 2 \Delta x \right ) ;].

Dessa forma a parte imaginária da transformação fica:

[; \tilde c \Delta t' = {\frac {\sqrt 3}{3}} \left ( c \Delta t - 2 \Delta x \right ) ;],

e a parte real fica:

[; c \Delta t' = - {\frac {\sqrt 3}{3}} \tilde c \Delta t ;],

ou seja, o que era ponto inicial do tempo se torna final e vice-versa e isso equivale a dizer que o tempo corre ao contrário.

Da mesma, para o espaço temos [; \Delta \xi' = \gamma \left ( \beta \chi \Delta t + \Delta \xi \right ) ;]. Então, resolvendo:

[; \Delta \xi' = {\frac {\sqrt 3}{3}} \hat l \left ( 2 \Delta t + \Delta x \right ) ;],

ou seja, o movimento seria puramente imaginário!

Fazendo, agora, uma análise qualitativa sobre o exemplo dado e considerando que qualquer instrumento conhecido só poderia apreciar a parte real das transformações, o que acontece é que o observador no referencial em movimento [; S' ;] não veria qualquer movimento aparente em [; S ;], mas se houvesse formas de medir o tempo da troca de informação, perceberia que ele se passa de trás para a frente.

É importante notar que não comentei aqui sobre a transformação inversa de [; S' ;] para [; S ;], então irei apenas apresentá-la aqui:

[; \Omega^{-1} = \begin{pmatrix} \gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\ - \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ;].

Sobre o exemplo anterior vale notar que a análise inversa também é verdadeira, salvo alguns detalhes quantitativos. Dessa forma, o observador em [; S ;] não veria o movimento espacial em [; S' ;], mas se pudesse medir o tempo, perceberia que esse passa ao contrário.

Um exemplo prático para esse fenômeno é o que ocorre entre partículas emaranhadas, umas vez que a medida da velocidade da interação sugere algo muito superior à velocidade da luz, mas não se consegue visualizar qualquer movimento espacial (real) do méson que faz essa interação.

Antes de entrar nas leis de conservação de momentum e energia, é interessante verificar o limite clássico das transformações.

Nesse ponto, vamos verificar como se comportaria o fator [; \gamma ;] para velocidades complexas cujo módulo é muito pequeno em relação ao módulo da velocidade complexa da luz, ou seja, [; | \nu | \ll | \chi | ;]. Então, fazendo a expansão em série:

[; \gamma = \sqrt {1 - \frac {\nu^2}{\chi^2}} \left ( 1 + \frac {\nu^2}{\chi^2} + \frac {\nu^4}{\chi^4} + \frac {\nu^6}{\chi^6} + ... \right ) ;],

temos que

[; \gamma |_{|\nu | \ll |\chi |} = 1 ;],

uma vez que [; \beta |_{|\nu | \ll |\chi |} = 0 ;]

Agora podemos voltar à transformação [; \Omega ;], que será dada por:

[; \Omega |_{|\nu | \ll |\chi |} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \nu \hat i & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ;],

que equivale exatamente à transformação de Galileu.

O mais interessante do uso de variedades complexas é que, nem sempre, velocidades reais significam que o módulo da velocidade complexa seja pequeno em relação ao módulo da velocidade da luz. Neste caso, mesmo que a velocidade real seja pequena, pode haver efeitos da distorção do espaçotempo, o que é uma conclusão interessantíssima!

Por sinal, é possível dar um exemplo em relação a isso. Supondo que o módulo da velocidade complexa seja igual ao da velocidade complexa da luz e com uma diferença de fase de [; \frac {\pi} {6} ;], ou seja, [; \beta = e^{\frac {\pi}{6} \hat l} ;]. Assim, podemos encontrar o valor de [; \gamma ;]:

[; \gamma = \frac {1}{\sqrt {1 - e^{\frac {\pi}{6} \hat l}}} = ;][; \frac {1}{\sqrt {\left ( 1 - \cos \frac {\pi}{6} \right ) + \hat l \sin \frac {\pi}{6}}} = ;][; \frac {1,39}{\sqrt {\cos \frac {5 \pi}{12} + \hat l \sin \frac {5 \pi}{12}}} = ;][; 1,39 \left ( \cos \frac {5 \pi}{24} - \hat l \sin \frac {5 \pi}{24} \right ) ;].

Agora vamos considerar o efeito sobre o referencial em movimento visto do referencial em repouso. Se considerarmos que [; \Delta \xi ' = 0 ;] para facilitar os calculos, então:

[; \chi \Delta t = \gamma \chi \Delta t' \Rightarrow \Delta t = 1,39 \left ( \cos \frac {5 \pi}{24} + \frac {\tilde{c}}{c} \sin \frac {5 \pi}{24} \right ) \Delta t' ;]

e

[; \Delta \xi = \gamma \nu \Delta t' \Rightarrow \Delta x = 1,39 \left ( v \cos \frac {5 \pi}{24} + \tilde v \sin \frac {5 \pi}{24} \right ) \Delta t' ;]

Cara, não saco quase nada de física, e definitivamente não tenho conhecimento pra testar as suas equações, mas a conclusão do tempo passar de trás pra frente e vice versa caso fosse possível fazer a medição, como você disse me pareceu bem interessante, mas se analisado dessa maneira, o tempo não é uma constante, e sim o resultado que pode ser observado de uma relação entre partículas, então, como resultado de uma interação, o tempo seria uma forma de energia?, algum campo magnético? se for assim, podemos interferir nesse campo magnético assim como interferimos nos demais campos, ou ele possui alguma característica peculiar, talvez peculiar o suficiente para não ser classificado como um campo magnético? É mais ou menso isso, ou eu devia ficar queto na minha e voltar para as minhas ciências humanas?

(...) o tempo não é uma constante, e sim o resultado que pode ser observado de uma relação entre partículas, então, como resultado de uma interação, o tempo seria uma forma de energia?

Pela definição usual de energia em física, definitivamente não. Podemos dizer que o tempo é uma propriedade fundamental do Universo, um axioma. Já o fato do tempo não ser uma constante, isso não é uma novidade, pois o próprio Einstein provou isso há mais de 100 anos.

O que estou fazendo aqui é generalizar ainda mais a teoria e chegando em resultados ainda mais estranhos do que os encontrados lá no início do século XX. Só isso.

(...) algum campo magnético?

Definitivamente não.

Outro dia tava vendo um programa sobre a teoria da relatividade geral no nat geo e achei bem interessante.

Eles estavam dizendo que o tempo é tipo uma característica da velocidade, e que no universo o que faz a diferença é a velocidade, quanto mais rápido você está, menor o efeito do tempo sobre você, +- assim.

Considerando que isso seja verdade, se um corpo atinge a velocidade da luz, que atualmente é a mais rápida conhecida, ele estaria parado no tempo?

Sim e Não ao mesmo tempo.

No próprio referencial o tempo seguiria normalmente, mas em relação a outros o tempo pararia. É como estar tudo indo normal dentro de casa, mas, ao olhar pela janela, ver tudo parado.