O Cravo Bem Temperado

Classe de tom e oitavas

Se duas notas são tocadas juntas, uma tendo o dobro da frequência da outra, elas são percebidas como sendo 'a mesma nota, mas diferentes'. O intervalo entre elas é de uma oitava e tem a proporção 2/1. Todas as notas com frequências que são duplicações sucessivas da mesma fundamental são referidas como sendo da mesma classe de afinação e separadas por uma ou mais oitavas.

Se uma nota tem uma frequência fundamental F, então seus harmônicos terão as frequências 2F, 3F, 4F, 5F, 6F, etc. Se outra nota tem uma fundamental oitava acima, 2F, seus harmônicos terão as frequências 4F, 6F, 8F, 10F, 12F, etc. Eles correspondem exatamente a todos os outros harmônicos da primeira série, daí a similaridade percebida de notas na mesma classe de afinação e a base física da oitava.

Transposição por um intervalo

Em termos numéricos, um intervalo é a proporção entre dois tons. Se o tom de um tom é multiplicado por um intervalo, o tom muda. Esta é a base matemática da transposição na música. Por exemplo, para transpor uma altura de uma oitava para cima, ela é multiplicada pelo intervalo 2/1, ou seja, é duplicada.

Para transpor para baixo, o intervalo é invertido ou revertido. Por exemplo, para transpor uma oitava abaixo, multiplique por 1/2, ou seja, divida a afinação pela metade.

Intervalos simples e compostos

Os intervalos de menos de uma oitava (menos do que o dobro do tom ou frequência) são chamados de intervalos simples. Os intervalos maiores que uma oitava podem ser compostos por uma ou mais oitavas mais um intervalo simples e são chamados de intervalos compostos.

A 3ª Harmônica e o Intervalo de uma Quinta

A relação de uma frequência, F, e seu duplo, 2F, é uma oitava, 4F uma oitava adicional e assim por diante. Mas e quanto a uma frequência três vezes maior que a fundamental, 3F? Trata-se de uma oitava e meia acima da fundamental e é o intervalo conhecido pelos músicos como um décimo segundo, ou uma oitava mais um quinto (porque é aquele número de passos na escala musical convencional). Este intervalo é o segundo intervalo mais importante depois da oitava.

O intervalo de uma décima segunda é representado pela razão 3/1. Para obter o intervalo de uma quinta devemos reduzi-lo em uma oitava, 1/2, de modo que o intervalo de uma quinta seja representado pela razão 3/2, três vezes o fundamental, mas transposto uma oitava abaixo. Uma quinta é o intervalo que existe entre a 2ª e a 3ª harmônicas de uma série de harmônicas.

Inversão de um intervalo e o intervalo de uma quarta

O processo de subtrair um intervalo de uma oitava é chamado de inversão do intervalo. Devido à natureza logarítmica da escala de altura, o processo de "subtração" é, na verdade, um processo de divisão. Por exemplo, para subtrair uma quinta, 3/2 de uma oitava, 2/1, dividimos (multiplicação cruzada) 2/1 por 3/2 dando 4/3.

Na terminologia musical, os intervalos são contados em etapas da escala, incluindo ambos os pontos finais. A oitava tem 8 passos. Um quinto é de 5 etapas. Inverter uma quinta, isto é, subtraí-la de uma oitava, resulta em uma quarta ou 4 etapas porque os pontos finais são contados em cada caso.

O intervalo de uma quarta tem razão 4/3 e como a quinta, 3/2, é de crucial importância para a construção de escalas musicais. É o intervalo que existe entre a 3ª e a 4ª harmônicas.

Quintas e quartas são chamadas de quintas e quartas perfeitas porque ocorrem tanto na escala maior quanto na escala menor.

O 5º Harmônico e os Intervalos de um Terço

O 1º, 2º, 4º e 8º harmônicos representam duplicações sucessivas de altura e são, portanto, oitavas. O 3º harmônico dá origem aos intervalos de uma décima segunda e uma quinta e foi discutido acima. O 6º harmônico está uma oitava acima do 3º.

Outro harmônico que tem influência direta na construção de sistemas de afinação musical é o quinto harmônico, que está cerca de duas oitavas e um quarto acima do fundamental. Na verdade, são duas oitavas mais o intervalo conhecido como terça maior. O terceiro harmônico maior é, portanto, o intervalo 5/4, o 5º harmônico, 5/1, transposto 2 oitavas para baixo, 1/4. É o intervalo que existe entre o 4º e o 5º harmônico.

O intervalo entre a 5ª e a 6ª harmônicas, 6/5, é conhecido como terça menor. Uma terça menor, 6/5 mais uma terça maior, 5/4, é uma quinta, 3/2 (6/5 x 5/4 = 30/20 = 3/2).

Consonância, Dissonância e Intervalos Harmônicos

A maioria dos tons não são tons puros e, portanto, contêm harmônicos mais elevados. Se dois tons forem tocados juntos, eles soarão consoantes ou harmoniosos se houver uma boa combinação entre os tons de seus parciais superiores. Eles soarão dissonantes ou desarmônicos se houver uma má combinação entre as frequências de seus parciais superiores. Consonância e dissonância são termos relativos em um espectro de percepção de som influenciado pelas expectativas subjetivas do ouvinte.

Um intervalo harmônico é um intervalo que ocorre entre dois membros de uma série harmônica. Por exemplo, nas séries 1F, 2F, 3F, 4F, 5F, 6F, etc. os intervalos 2/1, 4/1, 3/2, 4/3 e outros são todos intervalos harmônicos. Como os harmônicos dos harmônicos são eles próprios harmônicos, quaisquer duas notas relacionadas por um intervalo harmônico serão pelo menos em certa medida consonantes. Como a força relativa dos harmônicos normalmente diminui com o número dos harmônicos, são os harmônicos de menor número que têm a maior influência na consonância.

A consonância mais próxima possível é o uníssono, 1/1, a consonância entre duas notas idênticas. A oitava, 2/1, é a próxima mais consoante. O quinto, 3/2, e o quarto, 4/3, vêm em seguida. Esses são os únicos intervalos classificados como concordâncias perfeitas. Uma escala musical construída em tais intervalos consonantais deve ser consonantal.

ANTIGAS ORIGENS GREGAS DA ESCALA MUSICAL OCIDENTAL

Proporção e Harmonia

O antigo filósofo grego Pitágoras (? 580 -? 500 aC) é geralmente creditado por ter descoberto que os intervalos musicais que são reconhecidos como concordantes estão relacionados por pequenas proporções inteiras, uma ideia que ele pode ter adquirido da Babilônia. É provável que ele tenha determinado esse resultado usando um monocórdio, um único instrumento de cordas com uma ponte móvel por meio da qual a corda pode ser dividida em duas partes de proporção variável.

Cordas com comprimentos na proporção de 2:1 produziam o intervalo de uma oitava conhecido pelos gregos antigos como diapasão. Aquelas na proporção 3:2 produziam o intervalo da quinta, conhecido pelos gregos como diapente. Cordas de igual tensão e comprimento na proporção 4:3 produziram o intervalo de uma quarta conhecida pelos gregos como diatessaron. A palavra grega dia significa entre, através ou transversalmente.

Todos esses intervalos estão presentes entre cordas com comprimentos relativos 2, 3 e 4. Assim, o mais harmonioso dos intervalos está contido na progressão numérica 1:2:3:4. Isso reforçou o conceito de harmonia espacial e musical sendo relacionada à crença de que a harmonia de todo o universo era inerente ao poder místico dos números.

O próprio Pitágoras não deixou nenhum registro escrito de seu trabalho, então foi por meio de seu pupilo Filolau que essas observações foram transmitidas. O primeiro registro do uso de um monocórdio para demonstrar esse fenômeno foi por Euclides (c. 300 aC).

Tetrachord

A unidade básica de escala musical da Grécia antiga era o tetracórdio, que significa literalmente quatro cordas. A primeira e a quarta notas do tetracorde sempre foram afinadas no intervalo de um diatessaron (quarta), mas a afinação das outras cordas dependia do gênero e modo da música. No sistema grego antigo, as notas de uma escala eram organizadas em ordem decrescente.

No gênero diatônico, a afinação dos outros intervalos compreendia dois tons e um semitom. O gênero cromático compreendeu uma terça menor (três semitons) e dois semitons. O modo enarmônico compreendia uma terça maior (dois tons) e dois quartos de tom.

Antes de Pitágoras, parece haver pouca evidência de uma base teórica para a afinação das escalas musicais. Pitágoras estava envolvido com a ciência da harmonia, que era separada da arte prática da música. Na ausência de uma base teórica para o ajuste das escalas, o ajuste real só pode ter sido empírico e provavelmente variado amplamente.

Divisão Diatônica de uma Oitava

Os intervalos de diatessaron ou quarta (4/3) e diapente ou quinta (3/2) quando combinados (multiplicados) dão o intervalo de um diapasão ou oitava (2/1). O intervalo entre eles (dividir) é 9/8, que é o intervalo reconhecido como um tom inteiro. Na verdade, essa divisão da oitava fornece uma base teórica para a afinação de um tom. Além disso, a divisão da oitava em dois tetracordes separados por um tom é a base da escala diatônica, dia tônica, tendo um tom entre os dois tetracordes que são então referidos como tetracordes diatônicos .

Este princípio é ilustrado em um detalhe da pintura Escola de Atenas de Rafael (1483 - 1520) na parede da Stanza della Segnatura no Vaticano. Em uma representação diagramática de uma lira, as cordas são afinadas nas proporções relativas VI, VIII, VIIII, XII dando os intervalos de uma oitava (diapasão) entre VI e XII, quintas (diapente) entre VI, VIIII e VII, XII e quartas (diatessaron) entre VI, VIII e VIIII, XII. O intervalo de um tom está presente entre VIII e VIIII.

Sistema Perfeito Maior

Possivelmente, a divisão mais comum do tetracord era em dois passos de tom mais o que restava, meio tom ou passo de semitom, em ordem decrescente. Usando notação musical moderna, isso pode ser representado como E - R - C - B (ordem decrescente). Se um segundo tetracorde disjuntivo separado do primeiro por um tom foi adicionado, uma escala diatônica de uma oitava resultou: E - R - C - B A - G - F - E.

Isso foi estendido acima e abaixo pela adição de dois tetracordes em conjunto, cada um compartilhando uma nota com os tetracordes existentes. Os teóricos adicionaram mais um tom ao final da série para completar uma extensão de duas oitavas. Este disdiapason de duas oitavas foi chamado de Sistema Perfeito Maior.

Modos da Grécia Antiga

A escala apresentada acima tem intervalos de semitom entre C e B e também F e E. Todos os demais intervalos são tons inteiros. Um padrão de escala diferente em termos da posição do tom e dos intervalos de semitom pode, assim, ser produzido ao percorrer a escala de diferentes pontos de partida.

Os gregos antigos distinguiam a harmoniai, que eram padrões de escala no sistema perfeito maior, de tonoi, que eram os modos usados ​​na afinação e execução de um instrumento de cordas. Tonos pretendia esticar ou tensionar.

As sete harmoniai possíveis são fornecidas na tabela a seguir. Letras sem espaçamento mostram intervalos de semitom.

ED CB AG FE      Dórico
D CB AG FE D     Frígio
CB AG FE DC      Lídio
BAG FE D CB      Mixolídio
AG FE D CB A     Hipodórico
G FE D CB AGF   Hipofrígio
FE D CB AGF       Hipolídio

Intervalos no Sistema Perfeito Maior

A série de números 4:6:8:9:12:16 é frequentemente associada ao sistema perfeito maior e à teoria da proporção. Os intervalos entre os membros desta série são quinto, quarto, tom, quarto e quarto. Esses intervalos fornecem a sintonia para os intervalos fixos dos tetracordes do sistema perfeito maior.

As proporções do sistema perfeito maior estão ilustradas no frontispício da Theorica Musice publicado em 1492 pelo teórico musical Franchino Gafurio (1451 - 1522). Os martelos, sinos, copos, cordas pesadas e flautas do ferreiro levam todos os números 16, 12, 9, 8, 6 e 4.




A ilustração superior esquerda mostra Jubal, o pai bíblico da música, e seis ferreiros com martelos de tamanhos diferentes batendo em uma bigorna. Isso se relaciona com a história de que o jovem Pitágoras foi levado a investigar os intervalos musicais ao ouvir as notas produzidas por martelos de tamanhos diferentes em uma oficina de ferreiro. A ilustração superior direita mostra Pitágoras testando o intervalo de uma oitava entre sinos de tamanho 16 e 8 e entre copos preenchidos na proporção 16 e 8. A ilustração inferior esquerda mostra intervalos de teste de Pitágoras em um instrumento de cordas e a ilustração inferior direita mostra Pitágoras e seu aluno Filolau testando intervalos por meio de flautas.

Na verdade, os martelos, sinos, copos e flautas produziriam uma série ascendente de intervalos quando dispostos na ordem 16, 12, 9, 8, 6, 4, ao passo que as cordas pesadas produziriam uma série descendente. O tom de uma corda é proporcional à raiz quadrada de sua tensão.

Ajuste Pitagórico

Pitágoras é creditado por ter desenvolvido um sistema de afinação baseado unicamente no intervalo de uma quinta, o próximo intervalo mais consoante após o uníssono e a oitava. Uma maneira pela qual ele pode ter feito isso foi construindo uma série de quintas descendentes e ascendentes do mesmo ponto de partida.

De um ponto de partida 1/1, as quintas ascendentes são produzidas multiplicando-se sucessivamente por 3/2 para dar 3/2, 9/4, 27/16. As quintas descendentes são produzidas por multiplicação sucessiva por 2/3 para dar 2/3, 4/9, 16/27. O processo equivale a elevar os números 2 e 3 a potências sucessivamente mais altas e a sequência é construída sobre potências apenas desses dois números. Pitágoras acreditava que não deveria ser necessário ir além da terceira potência (cubo) de um número, pois não se pode ir além do comprimento, largura e profundidade. Esta construção de um sistema de afinação é consistente com essa visão; esquemas em que as quintas são todas ascendentes ou todas descendentes, não.

Embora Pitágoras se preocupasse principalmente com a ciência teórica dos harmônicos, este esquema também é consistente com a afinação prática de um instrumento de oito cordas no antigo modo frígio grego. Este modo tem tom simétrico, semitom, intervalos de tom dentro de cada tetracorde. A maneira de afinar pode ser ilustrada com notação musical moderna. Primeiro afine uma oitava entre as duas cordas externas, D D. A outra extremidade de cada tetracorde está a uma quinta de um deles ou a uma quarta da outra, DAGD (descendente). Duas notas adicionais ficam a quarta dessas notas médias, DCAGE D. As duas notas finais ficam a quinta dessas notas D CB AG FE D. As letras não espaçadas indicam passos de semitom.

A fim de manter todos os tons dentro da mesma oitava (decrescente), é necessário transpô-los para cima ou para baixo uma oitava ou duas, se de outra forma eles ficariam fora da oitava.

Assim nasceu a base matemática para sistemas de afinação musical.

Todos os passos de cinco notas possíveis na escala são quintas harmônicas verdadeiras (2/3), exceto aquela entre o F e o B abaixo, que é um semitom menor. Todas as quatro etapas de notas possíveis são quartas harmônicas verdadeiras (3/4), exceto aquela entre B e F abaixo. que é um semitom maior. O tamanho desses dois intervalos difere em um pequeno valor conhecido como vírgula pitagórica, assunto de grande importância ao qual retornaremos.

Os passos de duas notas são todos tons inteiros (8/9) ou semitons (243/256). Os passos de três notas são todos tons mais semitom (27/32) ou dois tons (64/81), um intervalo denominado ditone (terça maior). Todos os passos de seis notas são quatro tons mais um semitom (16/27) ou quatro tons (81/128). Todos os passos de sete notas são cinco tons (9/16) ou cinco tons mais um semitom (128/243). A afinação de todos esses intervalos é totalmente consistente.

Para Pitágoras, a descoberta de que os intervalos musicais estavam relacionados à aritmética era de significado místico e sintomático de uma harmonia subjacente em todo o cosmos. Observando que havia o mesmo número de corpos celestes e notas na escala musical, ele atribuiu às órbitas dos corpos celestes com proporções musicais que ele descreveu como a Música das Esferas.

Filósofos e escritores gregos posteriores, incluindo Platão (? 427 -? 347 aC), Aristóteles (384 - 322 aC) e Aristóxenes (c. 320 aC) foram todos influenciados por ideias originárias da escola pitagórica. Aristóxenes, no entanto, acreditava que os intervalos musicais deviam ser julgados de ouvido e não por proporções matemáticas.

Ptolomeu

Um relato das contribuições da Grécia antiga para a afinação musical não estaria completo sem mencionar o cientista grego posterior, Ptolomeu (2º c. DC). Ele propôs um sistema alternativo de afinação musical que incluía o intervalo da terça maior baseado naquele entre o 4º e o 5º harmônicos, 5/4. Esse sistema de afinação foi ignorado durante todo o período medieval e só ressurgiu com o desenvolvimento da polifonia.

Escala Pentatônica

Se as últimas quintas descendentes e ascendentes forem omitidas da sequência de afinação pitagórica, a escala resultante é um modo da escala pentatônica. Este tipo de escala ocorre e predomina em muitos tipos de música, incluindo música folclórica chinesa, oriental e europeia, por exemplo, a música celta.

A forma que surge mais naturalmente dos quintos ascendentes e descendentes envolve apenas dois passos em cada direção. As terças da escala são terças menores e, no modo dado, alternam com intervalos de tons e são colocadas simetricamente.

Existem cinco modos da escala pentatônica, um começando em cada grau. Usando letras não espaçadas para indicar passos de tom e letras espaçadas para indicar terços menores, os modos são DE GA C, E GA CD, GA CDE, A CDE G, CDE GA.

Em certo sentido, os dois membros da afinação pitagórica ausentes são os dois membros menos satisfatórios dessa série. Na afinação pitagórica, o estranho e desarmonioso trítono (três tons) surge entre as notas B e F (usando notação musical moderna). Como esses membros não estão presentes na escala pentatônica, não há trítono. Todas as quartas e quintas são perfeitas.

TEORIA E PRÁTICA MEDIEVAL

A Herança Grega

O conhecimento do antigo sistema musical grego estava disponível para os teóricos medievais, principalmente através dos escritos de Anicius Manlius Severinus Boethius (? 480 -? 524 DC). Boécio foi possivelmente o último escritor romano que entendeu grego. A maior parte da teoria musical que ele transmitiu dizia respeito ao pitagorismo.

Em seu livro De Institutione Musica, Boethius apresenta a música como uma ciência numérica em que a consonância e os intervalos a serem permitidos na melodia e na afinação são estritamente determinados por razões numéricas. Seu trabalho foi uma influência primária na era medieval.

Embora Boécio estivesse familiarizado com a notação musical das letras gregas, ele usou as letras romanas no De Institutione Musica. Para confundir ainda mais a questão, ele usou A para representar a nota mais baixa, enquanto na notação grega alfa representava a nota mais alta. Isso pode ter levado a uma crença equivocada de que as escalas gregas eram de ordem ascendente e não descendente.

Ajuste medieval pitagórico

Sabendo que Pitágoras inventou um sistema de afinação baseado apenas em quintas perfeitas, os teóricos medievais começaram a construir uma afinação com base nisso. Esse esquema está documentado em guias de construção de órgãos dos séculos IX e X.

O esquema geralmente apresentado como a base matemática para a afinação pitagórica é o seguinte. A partir de 1/1, a série de quintas ascendentes pode ser construída aritmeticamente por multiplicação sucessiva de 3/2. Para manter todas as notas na mesma oitava, algumas delas precisam ser transpostas para baixo em um número de oitavas.

Para chegar a tal afinação na prática, seria necessário afinar alternadamente quintas para cima e quintas para baixo, de modo a permanecer dentro da mesma oitava.

Este provavelmente não é o método realmente usado por Pitágoras por pelo menos duas razões. Em primeiro lugar, Pitágoras acreditava que não deveria ser necessário ir além da terceira potência de qualquer número (já discutimos isso acima), embora este método envolva a quarta, quinta e sexta potências de 2 e 3. Em segundo lugar, o método não produz uma rigorosa escala diatônica no sentido de que o intervalo no meio é um semitom não um tom (dia tónico) e o primeiro grupo de quatro notas não é um tetracorde, pois não abrange uma quarta perfeita. Usar uma série decrescente de quintas leva a problemas semelhantes. Além disso, o sistema de quintas ascendentes e descendentes já mencionado acima produz o modo frígio grego antigo, que é equivalente ao modo dórico medieval. É listado como Modo I no sistema gregoriano, possivelmente porque surge primeiro do antigo sistema de afinação grego.

Outra diferença significativa entre uma sequência de quintas descendentes e ascendentes e uma sequência de apenas quintas ascendentes é que o primeiro método gera um terceiro grau de escala de uma terça menor, enquanto o último gera uma terça maior. Ambos os graus da escala diferem de intervalos equivalentes na série de harmônicos, 6/5 para a terça menor e 5/4 para a terça maior, por 81/80, aproximadamente um oitavo de um tom, um intervalo conhecido como vírgula sintônica ou vírgula de Didymus.

Os intervalos da escala são de dois tamanhos distintos, 9/8 e 256/243. O logaritmo do intervalo 9/8 (0,117783) é quase duas vezes o logaritmo do intervalo 256/243 (0,052116), então o intervalo 9/8 soa como um passo com o dobro do tamanho do passo 256/243. Estes são passos de tom e semitom.

Modos

Como a escala diatônica tem duas etapas de semitom e cinco etapas de tom, diferentes padrões de intervalos surgem ao percorrê-la de diferentes pontos de partida. Esses diferentes pontos de partida são chamados de modos da escala.

Os modos gregorianos são identificados por um número e são nomeados em homenagem ao Papa Gregório I (? 540 - 604 DC). Os nomes dos modos gregos antigos foram reaplicados por alguns autores no século X. Possivelmente porque interpretaram mal Boécio, os nomes dos modos não são consistentes com o uso do grego antigo.

A música modal da Idade Média e posteriores tem uma nota final para cada modo com o qual a melodia (geralmente) termina. Nos modos autênticos, a final é a última nota do intervalo de notas. Nos modos plagal, a nota final é a quarta da escala. O modo hipomixolídio, não tendo contrapartida no sistema grego, difere do modo dórico apenas em seu final.

Os únicos passos de quatro e cinco notas na escala diatônica que não são quartas e quintas harmônicas verdadeiras são aqueles entre F - B e B - F. Este intervalo, igual a três tons inteiros e chamado de trítono, é considerado o mais desarmônico. Para evitar esse intervalo, a nota B às vezes era rebaixada em um semitom para uma nota chamada Si bemol. Uma solução alternativa foi aumentar o F em um semitom até F sustenido (F#).

O uso de Bb, particularmente nos modos Lídio e Dórico, na verdade criou dois novos modos. O modo lídio com Bb é equivalente ao modo maior moderno, assim como o modo mixolídio com F#. O modo Dórico com Bb é equivalente ao modo menor natural moderno. No entanto, por muito tempo eles não foram considerados como novos modos.

Guido de Arezzo

Guido de Arezzo (? 995 -? 1050), um monge beneditino, foi um músico e um teórico musical muito influente. Ele é creditado por ter aprimorado muito o sistema emergente de notação musical escrita e por ter criado uma estrutura de escala musical conhecida como hexachord.

O hexachord foi concebido principalmente para facilitar o ensino da música e, de acordo com Guido, permitia que um aluno aprendesse em cinco meses o que antes levaria dez anos. As sílabas ut, re, mi, fa, sol, la compreendiam um hexacórdio tendo os intervalos tom, tom, semitom, tom, tom. Por exemplo, pode corresponder à sequência de notas CD EF G A. Uma característica importante era que apenas um único intervalo de semitom foi incluído e estava no meio entre dois grupos de três notas.

Por causa de sua estrutura de intervalo simplificada, o hexacórdio era fácil de cantar. Os nomes dos graus da escala foram derivados das primeiras seis linhas de um hino latino a São João Batista. Em um ambiente musical que pode ter sido criado por Guido para esse propósito, cada linha começava no tom apropriado para aquela nota. Posteriormente, a sétima sílaba si foi adicionada com base nas letras iniciais da última linha.

Ut queant laxis re sonare fibris
Mi ra gestorum fa muli tuorum,
Sol ve polluti la bii reatum,
Sancte Joannes.

Que teus servos possam cantar livremente as maravilhas de teus atos, remova toda mancha de culpa de seus lábios impuros, ó São João.


A notação ainda é usada na França e na Itália para nomes de notas e persiste na Inglaterra na canção 'Do, a deer, a female deer ...' usada para ensinar crianças no musical Sound of Music. A melodia pode ter mudado, mas a utilidade da estrutura do hexacórdio como auxiliar de ensino resistiu ao teste do tempo.

O hexacorde pode ser encontrado em três lugares na escala existente, GA BC DE, CD EF GA ou FG ABb C D. A forma natural de B foi chamada de 'duro' e o B achatado foi chamado de 'macio', então o hexacórdio começando em G foi chamado de 'duro' (durum) e o hexacórdio começando em F foi chamado de 'macio' (molle). Posteriormente, esses se tornaram os nomes dos modos principais (dur) e menores (moll) de hoje. O hexacorde começando em C foi chamado de 'natural'.

A nota mais baixa em que um hexacórdio pode começar era o Sol baixo, identificado pela letra grega gama. Esse hexacorde foi chamado de gama ut, que é a origem da palavra gama. Uma interpretação mais restrita da palavra gama é o conjunto de notas compreendendo as notas brancas mais Bb, as notas da musica recta. Para ir além das seis notas do hexacórdio, foi necessário transferir para um novo hexacórdio começando no quarto ou quinto grau do antigo. Esse processo, chamado de mutação, envolvia o tratamento de uma única nota como pertencente a ambos os hexacordes, um processo análogo à moderna modulação de tom.

Henricus Glareanus

A teoria modal foi revisada por Heinrich Loris, também conhecido como Henricus Glareanus, em sua publicação Dodecachordon publicada em 1547. Glareanus adicionou quatro novos modos que eram equivalentes aos modos dórico e lídio modificados com um Bb. Os novos modos eólico e jônico forneceram a mesma estrutura de intervalo, mas não exigiram o uso de Bb. Esses foram os precursores dos modos modernos de escala menor e maior.

Glareanus também menciona os modos puramente teóricos de Lócrio e Hipolócrio. Porque estes exigiriam B como seu final, eles eram inutilizáveis ​​devido ao trítono de B a F.


As escalas modais mais antigas, principalmente aplicáveis ​​à música melódica, também são chamadas de modos de igreja ou modos eclesiásticos .

Ajuste Pitagórico da Escala Diatônica Maior

Suponha que o sistema de afinação baseado em quintas ascendentes seja transposto para começar uma quarta mais baixa, começando com C em vez de F. Isso pode ser conseguido multiplicando todos os intervalos por 2/3. As notas F, G, A e B também são transpostas uma oitava acima (multiplique por 2/1).

A quarta da escala é uma quarta verdadeira e há dois tetracordes idênticos separados por um tom, uma escala diatônica estrita. A sequência de intervalos em cada tetracorde, tom, tom, semitom, é a mesma que os modos lídio gregos antigos, exceto que a escala é invertida, ascendente e não descendente. O padrão também coincide com os intervalos do hexacórdio de Guido de Arezzo e o modo jônico descrito por Henricus Glareanus. É a escala agora conhecida como escala diatônica maior.

Como a afinação pitagórica do modo frígio grego antigo, todos os passos de cinco notas possíveis na escala são quintas harmônicas verdadeiras (3/2), exceto aquela entre o Si e o Fá, que é um semitom menor. Todos os passos de quatro notas possíveis são quartas harmônicas verdadeiras (4/3), exceto aquela entre F e B, que é um semitom maior.

Os passos de duas notas são todos tons inteiros (9/8 ) ou semitons (256/243). Os passos de três notas são todos dois tons (81/64) ou tom mais semitom (32/27). Todos os passos de seis notas são quatro tons (128/81) ou quatro tons mais um semitom (27/16). Todos os passos de sete notas são cinco tons (16/9) ou cinco tons mais um semitom (243/128). A afinação de todos esses intervalos é totalmente consistente.

SINTONIZANDO O RENASCIMENTO

O Surgimento da Polifonia

Possivelmente, a forma mais antiga de música em que as notas eram tocadas juntas, exceto em uníssono ou em oitavas, era a prática do organum, em que a melodia era seguida por um acompanhamento, prática que data dos séculos IX e X. No organum paralelo, o intervalo entre as partes era uma quarta ou quinta fixa. No organum livre, o intervalo variava, mas os intervalos consonantais de quarta, quinta, oitava e uníssono eram usados ​​em pontos-chave da frase melódica. Na Inglaterra, a prática de usar as terças maiores no organum desenvolveu-se no final do século XII.

O desenvolvimento do moteto, uma forma de canção sacra geralmente para três vozes, ajudou a levar o desenvolvimento da polifonia ao longo dos séculos XIII a XV. O nascimento de Ars Nova, a nova arte do renascimento do século XIV, viu uma mudança crescente na ênfase musical da melodia para o contraponto e a harmonia. Com essa mudança, veio um uso crescente das consonâncias imperfeitas de terças e sextas. Mas foi só no século 16 que a eficácia da afinação pitagórica foi posta em causa.

Escala Cromática

Extensões do sistema modal para incluir Bb e F# foram mencionadas acima. A exploração posterior do sistema modal introduziu gradualmente outras etapas de semitom, particularmente Eb, C# e G#. Tratar essas novas notas como modificações nas notas existentes permite que uma escala ainda inclua todos os nomes das notas, mas com uma ou mais modificadas por um acidente, por exemplo FGA Bb CDE F. Na musica ficta, esses acidentes (exceto Bb) eram entendidos por convenção em vez de notação, pois os compositores relutavam em usar notas fora do sistema autorizado por Guido de Arezzo.

Essas modificações de semitom na escala tonal levaram a uma divisão da oitava em 12 etapas de semitom, uma escala cromática. O teórico Jacobus de Liege observou por volta de 1325 que "os teclados agora têm todos os tons inteiros divididos em seus semitons desiguais".

A afinação pitagórica ainda estava em uso e a maneira lógica de afinar as novas notas era como uma quinta a partir das notas existentes, portanto, Bb pode ser afinado como quinta abaixo do F acima e F# como uma quinta acima do B abaixo.

Isso resulta em dois tamanhos ligeiramente diferentes para a etapa de semitom. Os passos de A a Bb ou F# a G têm o valor 256/243, o mesmo que os passos de semitom existentes entre E e F ou B e C. Este intervalo é denominado semitom diatônico pitagórico. Os passos de semitom entre Bb e B ou F e F#, que não representam passos de nenhuma escala diatônica e raramente seriam reproduzidos sucessivamente na música da época, têm o valor 2187/2048. Este intervalo é denominado semitom cromático pitagórico ou apótomo. Os dois intervalos diferem em 531441/524288, um pequeno intervalo conhecido como vírgula pitagórica, cerca de um oitavo de tom. Esse é o valor pelo qual um ciclo completo de 12 quintos difere de 7 oitavas, assunto ao qual retornaremos quando falarmos sobre temperamento.

Os semitons restantes de uma escala cromática completa podem ser adicionados. Eb pode ser derivado afinando uma quinta de Bb. C# pode ser derivado afinando uma quinta acima de F# e transpondo uma oitava abaixo. G# pode ser derivado pela transposição de um quinto de C#.

Um problema com essa afinação é que a quinta entre G# e Eb é 262144/177147, que difere de uma quinta verdadeira de 3/2 em 531441/524288, a vírgula pitagórica, ou comma pitagórica. Este quinta é conhecida como a "quinta de lobo" porque quando tocada em órgãos góticos lembrava aos ouvintes uivos de lobos. A afinação é conhecida como Eb x G# a partir da posição do intervalo falso.

Por volta de 1400, a afinação pitagórica provavelmente foi modificada para tratar todas as notas cromáticas como bemol. Ainda há uma quinta de lobo, agora entre B e F#, mas a afinação é mais adequada para estilos musicais que empregam mais terças e sextas. Aritmeticamente, esses intervalos mais harmoniosos são refletidos nos números menores das razões das afinações revisadas, implicando em concordância de harmônicos em um ponto anterior da série. Essa afinação é conhecida como F# x B.

Entonação Justa

Embora quase todas as quartas e quintas da afinação pitagórica correspondam exatamente às proporções harmônicas, as terceiras e sextas não. Como mencionado acima, a terça maior pitagórica, 81/64, difere da terça maior harmônica verdadeira, 5/4, por uma pequena quantidade, 81/80, conhecida como comma sintônica ou comma de Dídimo. A terça menor pitagórica, 32/27, difere da terça menor harmônica verdadeira, 6/5, exatamente na mesma proporção. O mesmo vale para as sextas maiores e menores.

Já por volta de 1300, o teórico inglês Walter Odington apontou que as terças maiores e menores têm intervalos próximos a 5/4 e 6/5 e que os cantores tendem a esses intervalos. Em 1482, o teórico espanhol Bartolomé Ramos de Pareja propôs que a afinação deveria ser modificada para incorporar terças e sextas mais harmoniosas. O esquema que ele propôs era uma forma de temperamento de tom médio que será discutido logo adiante.

O influente teórico Franchino Gaffurio (1451 - 1522) descobriu o sistema de afinação desenvolvido pelo antigo grego Ptolomeu que usava terças harmônicas naturais. O próprio Gaffurio era conservador e se opunha à introdução de um novo sistema de afinação. O novo esquema foi defendido principalmente por Lodovico Fogliano na Musica Theorica de 1529 e Gioseffo Zarlino (1517 - 1590) no Institutioni Armoniche publicado em 1558.

A nova afinação é geralmente referida como uma afinação justa ou entonação justa. De forma mais geral, o termo "entonação justa" significa qualquer sistema de afinação baseado em (pequenos) números naturais e, portanto, inclui afinação pitagórica. No sistema defendido por Zarlino, a terça maior torna-se 5/4, a sexta maior torna-se 5/3 e a sétima maior torna-se 15/8, tudo baseado na relação do 5º harmônico com os outros harmônicos. Zarlino expressou a série como uma progressão harmônica de números de 180 a 90.

Este sistema envolve dois passos de tons de tamanhos diferentes, 9/8 como nas afinações anteriores e o menor 10/9 que é chamado de menor justa. A diferença entre eles é a comma sintônica, 81/80. O semitom tornou-se 16/15 e é chamado apenas de semitom diatônico. É ligeiramente menor do que um semitom cromático pitagórico.

Este sistema de afinação compromete uma das quartas e quintas, aquela entre Ré e A. Todas as terças maiores e sextas menores são consistentes, mas uma das terças menores, Ré a Fá, e a sexta maior correspondente, F a D também estão comprometidas. Como existem dois passos de tons de tamanhos diferentes, também existem duas sétimas menores diferentes.

Enquanto permanecermos no modo jônico, equivalente à moderna escala maior, ou no modo eólico, equivalente à moderna escala menor, essa afinação funcionará bem. Talvez seja por isso que Zarlino deu preferência ao modo jônico e o listou primeiro, enquanto Glareanus, usando a afinação pitagórica, o considerou o menos satisfatório e o listou por último.