O Cravo Bem Temperado

Afinação justa cromática

A afinação justa pode ser prontamente estendida para a escala cromática completa adicionando uma terça menor (6/5), uma sexta menor (8/5) e uma sétima menor (9/5), todas derivadas da 5ª harmônica. A segunda menor (16/15) é o intervalo que já existe entre a terceira e a quarta. F# é calculado como um quinto acima do B. Todas essas afinações usam proporções numeradas menores do que as afinações pitagóricas correspondentes e, portanto, têm harmônicos coincidentes mais baixos na série. As etapas de semitom, no entanto, são de quatro tamanhos diferentes.

Existem vários lobos à vista. Existem quintas de lobo entre Bb - F e D - A tendo o valor 40/27 com um valor decimal de cerca de 1,4815, em vez de menos do que o ideal 3/2 ou 1,5. Também há uma quinta lobo entre F# - C# com o valor 1024/675 ou cerca de 1,5170, maior que a quinta ideal. Existem quartas de lobo correspondentes em A - D, F - Bb e C# - F#.

Mais perturbador para um sistema que busca a perfeição de terças e sextas, há terços lobo entre A - C#, B - D#, E - G# e F# para A#. Esses lobos têm o valor 32/25 ou 1,28 e diferem significativamente dos 5/4 ou 1,25 ideais. Existem sextas menores de lobo correspondentes. A percepção da afinação de terças e sextas é menos crítica do que a de quintas e quartas, mas está chegando a um quarto de tom.

Existem também terças menores (e sextas maiores) lobos de dois tamanhos diferentes. Os terços menores de 32/27 têm um valor decimal de cerca de 1,1852 e os de 75/64 têm um valor decimal de cerca de 1,1719. Ambos diferem significativamente do ideal 6/5 ou 1,2.

Zarlino estava, sem dúvida, ciente das limitações de ajustar justas e foi um dos primeiros teóricos a defender um sistema de temperamento igual. Em 1588, ele relatou que o abade Girolamo Roselli elogiou um temperamento tão simétrico como "música esférica". A base matemática para tal sistema de ajuste é baseada na teoria dos logaritmos, que não foi publicada até um quarto de século após a morte de Zarlino.

Outras alternativas históricas para a entonação justa serão discutidas logo mais.

Média Aritmética e Harmônica

Zarlino observou que a média aritmética 3 entre 2 e 4 divide uma oitava em uma quinta e uma quarta, 2:3:4. (Ou 6:9:12.) Alternativamente, a média harmônica 8 entre 6 e 12 divide a oitava em uma quarta e uma quinta, 6:8:12. Da mesma forma, a média aritmética 5 entre 4 e 6 divide uma quinta em terça maior e menor, 4:5:6, enquanto a média harmônica 12 entre 10 e 15 divide a quinta em terça maior e menor, 10:12:15. Além disso, a média aritmética de uma terça maior, 4:5 ou 8:10, divide em tons maiores e menores, 8:9:10. Zarlino viu este resultado como 'verdadeiramente milagroso '.

(Para calcular uma média aritmética some os números e divida pelo número deles, por exemplo, a média aritmética de 6 e 12 é dada por (6 + 12) / 2 = 9. Para calcular uma média harmônica divida a quantidade de dados pela soma dos inversos dos dados, por exemplo, a média harmônica de 6 e 12 é dada por 2 / (1/6 + 1/12) = 2 / (3/12) = 24 / 3 = 8.)

O Acorde Comum e Sestina

O primeiro, terceiro e quinto graus da escala, quando tocados juntos, passaram a ser reconhecidos como o acorde comum. Essa combinação de notas talvez tenha sido encontrada pela primeira vez no estilo faburden inglês de organum do século XIV, no qual a parte do meio estava uma quarta abaixo da melodia e o baixo uma terça abaixo dela. Transpor a nota superior em uma oitava produz o acorde comum.

Conforme observado por Zarlino, os intervalos de uma terça maior, 5/4, e uma terça menor 6/5, quando combinados (multiplicam) somam uma quinta, 3/2. (O mesmo é verdadeiro na afinação pitagórica.) O acorde comum pode ser uma terça menor no topo de uma terça maior ou uma terça maior no topo de uma terça menor.

Os teóricos do século 16 reconheceram uma sestina como um acorde compreendendo os intervalos oitava, quinta, quarta, terça maior, terça menor, por exemplo CCGCEG, tendo tons relacionados nas proporções 1:2:3:4:5:6.

Subharmônicas

O componente mais proeminente de um tom musical é a fundamental. Da mesma forma que um tom pode conter frequências harmônicas mais altas, que são múltiplos da fundamental, ele também pode conter frequências mais baixas, que são submúltiplos da fundamental. Eles são conhecidos como subharmônicos. Uma visão alternativa é considerar os sub-harmônicos como a série de tons dos quais um tom pode ser um harmônico, mesmo que não estejam presentes no tom. Na prática, eles podem estar presentes em pequenas proporções.

Isso implica uma série de tons descendentes que estão reciprocamente relacionados aos harmônicos ascendentes, F, F / 2, F / 3, F / 4, F / 5, F / 6, etc. Esta série contém os mesmos intervalos que a série de harmônicos ascendentes. O intervalo entre os dois primeiros membros da série é uma oitava. O intervalo entre a segunda e a terceira sub-harmônicas é uma quinta perfeita (3/2) e entre a terceira e a quarta a inversão desta, uma quarta perfeita, (4/3). O intervalo entre a quarta e a quinta sub-harmônicas, (5/4) é uma terça maior e o intervalo entre a quinta e a sexta, (6/5) é uma terça menor.

O 4º, o 5º e o 6º harmônicos têm as taxas de frequência relativas 4/4:5/4:6/4 e fornecem a sintonia apenas para a escala maior. A 4ª, 5ª e 6ª sub-harmônicas têm as taxas de frequência relativas 1/4:1/5:1/6, ou arranjadas em ordem crescente sobre um denominador comum, 10/60:12/60:15/60. As médias aritmética e a harmônica calculadas por Zarlino têm, portanto, uma relação natural com as séries harmônica e sub-harmônica. Pode-se argumentar que o modo da escala maior surge da série harmônica e que o modo da escala menor surge da série sub-harmônica.

TEMPERAMENTO

Ciclo das Quintas

Suponha que a série de quintas na qual a afinação pitagórica se baseia seja estendida a 12 ou mais membros. Isso pode ser conseguido multiplicando sucessivamente por 3/2. O processo equivale a elevar os números 2 e 3 a potências sucessivamente mais altas e toda a sequência é construída sobre potências apenas desses dois números.

Para manter todas as notas na mesma oitava, é necessário transpor a maioria delas em uma ou mais oitavas, ou seja, multiplicar por 1/2, 1/4, 1/8, etc.

O valor decimal do intervalo produzido pela transposição da 13ª quinta para baixo 7 oitavas difere da unidade em pouco mais de 1%. A partir deste ponto, a sequência produz uma série de valores decimais que estão todos muito próximos dos primeiros 12, em seguida, outra série de 12 valores um pouco mais alta novamente e assim por diante. Essa sequência é conhecida como ciclo das quintas. O valor pelo qual o 13º valor difere da unidade, 531441/524288 é conhecido como comma pitagórica. Esta é a pequena quantidade de sobreposição no final do ciclo das quintas.

Se essas quintas fossem classificadas por altura ascendente, resultaria na seguinte afinação cromática. Os primeiros sete membros da série dão origem às notas brancas de um teclado e os demais membros da série dão origem às notas pretas afinadas como sustenidos.

O 13º membro da série produziria a nota E#, que seria diferente do Fá pela comma pitagórica. É essa discrepância que dá origem às quintas e quartas do lobo da afinação pitagórica e justa.

Temperamento Mesotónico

Um temperamento mesotônico é um sistema de afinação que busca fechar a sobreposição no círculo das quintas, reduzindo o tamanho da maioria das quintas.

O intervalo de uma terça maior pitagórica surge entre o 1º e o 5º membros da série de quintas 81/64 quando transposta para estar na mesma oitava. Ele difere da terça maior harmônica ideal, 5/4 pela comma sintônica, 81/80 (81/64 ÷ 5/4 = 81/64 x 4/5 = 324/320 = 81/80). A sequência de notas envolvidas, digamos C - G - R - A - E, inclui 4 intervalos de uma quinta. Se o tamanho de cada intervalo for reduzido em um quarto da comma sintônica, então a terceira, Dó - Mi, será uma verdadeira terça harmônica. Os dois tons que o compõem, C - D - E, estão igualmente divididos, tom médio , pois o D está na metade da série. A afinação resultante é chamada afinação mesotônica de quarto de comma. Foi documentado pela primeira vez por Pierto Aaron (1490 - 1545) algum tempo depois de 1500. Outras formas de temperamento mesotônico incluem coma 1/3, coma 2/7, coma 1/5 e coma 1/6.

Mas o que exatamente queremos dizer com quarto de coma sintônica? A escala de altura é logarítmica, portanto, precisamos de um 'quarto' em termos logarítmicos, (81/80)^1/4. A raiz quarta de 81 (isto é, 3) dividida pela raiz quarta de 80. Como o tamanho de cada quinta precisa ser reduzido, esse termo deve ser retribuído, (80/81)^1/4. As relações de afinação de uma sequência de quintas podem ser multiplicadas pelo número de comas semínimas exigidas, por exemplo 27/16 x (80/81)^3/4 para o terceiro membro da série. O tom médio em si é ajustado pela raiz quadrada da coma sintônica, (80/81)^1/2. As médias aritméticas e harmônicas do sistema de Zarlino são agora acompanhadas por uma média geométrica. É interessante notar que o valor decimal de 80/81 é de aproximadamente 0,987654321.

Uma visão alternativa do processo é possível. Aritmeticamente, os quatro intervalos envolvidos somam (3/2)⁴ ou 81/16 que avalia 5,0625. O que é necessário é tornar este valor igual a 5, dando a terça maior 5/4 desejada. Para fazer isso, cada etapa (logarítmica) precisa ser igual à quarta raiz de 5 ou 5^1/4. Cada passo seguinte é alguma potência transposta uma oitava abaixo, se necessário, por exemplo, o terceiro passo é 5^3/4/2; o tom médio é 5^1/2/2.

Em termos musicais, o efeito dessa afinação é que as quintas foram ligeiramente estreitadas para produzir terças maiores harmônicas precisas.

Um problema com esse método é que ele corrige demais as quintas. Cada 4 quintas são reduzidas pela coma sintônica, portanto, ao longo de um ciclo completo de 12 quintas, a redução total chega a 3 comas sintônicas ou (80/81)³, que é avaliado em cerca de 0,963418. Para fechar verdadeiramente o ciclo das quintas, é necessário um valor de 1. Haverá um lobo muito grande uivando no final da série.

Sem desanimar, podemos estender a série em ambas as direções. Continuar a série em quintas para cima leva à série de sustenidos, F#, C#, G#, D#, A#. Continuar em quintas descendentes leva à série de bemóis Bb, Eb, Ab, Db, Gb. É muito claro que os sustenidos e bemóis não representam a mesma nota de forma alguma. Todos eles diferem na mesma quantidade, quase um quarto de tom. Uma abordagem para significar temperamento de tom em teclados com apenas um conjunto de teclas de notas pretas é escolher e misturar membros de ambas as séries ascendente e descendente de modo a obter os passos de semitom mais uniformes, Db, Eb, F#, G# A#. 

Uma análise conveniente do temperamento mesotônico é facilitada pela moderna medida de intervalo logarítmico de um cent.

Cents

Os cents são uma medida logarítmica de intervalos definidos de forma que 1.200 cents compõem uma oitava.

Para converter o valor decimal de uma razão de afinação (intervalo) em cents, leve seu logaritmo à base 2 e multiplique por 1200. Por exemplo, para converter 1,869186 em cents, calcule o log₂ 1,(869186) x 1200 = 1082,892164.

Se sua calculadora não fornece logaritmos para a base 2, você pode fazer uso da relação log_a (x) = log_b (x)/log_b (a). Ou seja, pegue o logaritmo em alguma outra base, geralmente e, a base dos logaritmos naturais ou 10, depois divida pelo log de 2 nessa base. Por exemplo, usando logaritmos naturais, frequentemente indicados como ln, o exemplo anterior torna-se ln (1.869186) x 1200/ln (2).

Como a medida é logarítmica, a diferença entre dois intervalos pode ser encontrada subtraindo seus valores em vez de dividir como é necessário quando os intervalos são expressos como proporções. Para combinar dois intervalos medidos em cents, basta adicionar os valores.

Análise do Temperamento Mesotônico

A maioria das quintas tem o intervalo de 696 cents, que às vezes aparece como 697 cents devido ao processo de arredondamento para o cent mais próximo. Isso é apenas um pouco menor do que o tamanho de 3/2 quinto, que é cerca de 702 cents. Mas há duas quintas de 656 cents, quase um quarto de tom muito estreito e três de 737 cents, quase um quarto de tom muito largo. Um problema semelhante existe com as quartas. Para quintas e quartas, essa é uma discrepância séria, pois a percepção da afinação desses intervalos é bastante sensível.

Existem também algumas terças problemáticas. Quatro das terças maiores são muito amplas. Quatro das terças menores são muito estreitas e uma é muito larga. Problemas semelhantes existem com as sextas.

Em termos práticos, a afinação é boa, desde que se permaneça dentro ou perto da tonalidade C. A modulação para tonalidades distantes não é sábia.

O acorde comum e modulação de tom

Jean Philippe Rameau (1683 - 1764) estabeleceu uma teoria da harmonia tonal baseada no quarto e no quinto graus da escala crucial. O quinto grau da escala é conhecido como dominante e seu inverso, o quarto, cinco graus abaixo da tônica, é chamado de subdominante. Toda a escala diatônica pode ser construída como acordes comuns nesses graus de escala, por exemplo CEG, FAC, GB D.

Suponha que se construa de forma semelhante uma nova escala na escala dominante da escala existente. O dominante da quinta de C é G, então a nova escala conteria GBD, CEG, DF# A. Isso requer a introdução de F#. É a última nota na escala de sol e é chamada de nota principal porque na melodia leva de volta à tônica.

O padrão de intervalos na nova escala é exatamente o mesmo que na antiga (tom, tom, semitom; tom; tom, semitom tom), então este não é um modo diferente, é uma tecla diferente, o mesmo modo, mas de uma nota inicial diferente. Pode-se modular para uma nova tonalidade por meio de um acorde pivô que está presente tanto nas tonalidades antigas quanto nas novas.

Construir uma nova escala na dominante de Sol produz DF# A, GBD, A, C#, E, novamente introduzindo um novo sustenido para a nota principal.

Por outro lado, pode-se construir uma nova escala na subdominante de C, F. Isso conteria as tríades FAC, Bb DF, CE G. A nota Bb deve ser adicionada como a nova subdominante da escala Novamente, esta é uma nova chave. A construção de uma nova escala na subdominante de F, Bb, produz as tríades Bb DF, Eb G Bb, FA C.

Mover-se de uma tecla para outra é a modulação da tecla . Formas comuns de modulação chave envolvem mover para o dominante ou subdominante. Como os intervalos subjacentes de uma quinta e quarta são a inversão um do outro, uma nova tonalidade formada na dominante terá a nota fundamental da tonalidade antiga como sua subdominante. Da perspectiva da nova chave, uma veio do subdominante. O movimento nesta direção é conhecido como a órbita plagal análoga aos modos plagais medievais, em que a final é a quarta nota do intervalo. Se alguém passar para o subdominante, esta nova chave terá a nota chave da chave antiga como dominante. O movimento nessa direção, a partir do dominante, é conhecido como órbita cadencial.

Intervalos Diatônicos

Os intervalos diatônicos são medidos como o número de notas nomeadas diferentes na escala diatônica que eles incluem. Por exemplo, C a G é uma quinta, CDEF G. O intervalo de B a F também é uma quinta, BCDEF, embora seja um semitom menor.

Cada quinta na escala diatônica maior envolve 7 passos de semitom (3 tons e um semitom), exceto aquele de B a F. As quintas compreendendo 3 tons e um semitom são chamadas de quintas perfeitas. O de B a F é um semitom menor e é chamado de quinta diminuta ou trítono (3 tons ).

Da mesma forma, cada quarta na escala envolve 5 passos de semitom (2 tons e um semitom), exceto aquele de F a B. As quartas compreendendo 2 tons e um semitom são chamadas de quartas perfeitas. O de F a B é um semitom maior e é chamado de quarta aumentada. Esse intervalo também é o trítono, um intervalo geralmente considerado o mais desarmônico. Na verdade, em apenas afinações, a quarta aumentada e a quinta diminuta diferem pela coma pitagórica, a sobreposição no círculo das quintas. O trítono, portanto, tem dois valores diferentes que talvez expliquem sua natureza desarmônica e problemática.

Uníssono, oitavas, quintas e quartas são os únicos intervalos perfeitos. Como a inversão de uma quinta é uma quarta (subtraindo de uma oitava), a inversão de um intervalo perfeito também é um intervalo perfeito.

O caractere (tamanho) de todos os outros intervalos depende de sua posição na escala diatônica, pois o tamanho do intervalo pode variar em um semitom. A menor das duas possibilidades é chamada de intervalo menor e a maior de intervalo principal. A inversão de um intervalo menor é sempre um intervalo maior e vice-versa.

Em geral, esses são os intervalos que surgem nos modos de escala maior e menor. Todos os graus de uma escala diatônica maior estão relacionados à tônica pelo intervalo maior correspondente. A escala menor sempre tem um segundo maior e, às vezes, o sexto e o sétimo graus são elevados em intervalos maiores. Na escala menor melódica, adequada à melodia, o sexto e o sétimo graus são elevados um semitom aos intervalos maiores em uma escala ascendente, mas a forma menor é usada em uma escala descendente. Na escala menor harmônica usada para formar acordes, apenas o sétimo grau é elevado a uma sétima maior.

Outros intervalos aumentados e diminuídos ocasionalmente surgem. Por exemplo, C# a Db é uma segunda diminuta; é uma segunda porque há dois nomes de notas, mas é diminuto porque é um semitom menor que um segundo menor. C para A# é uma sexta aumentada; é uma sexta porque há 6 nomes de notas, CDEFGA#, mas é um semitom maior do que uma sexta maior. Podem ser encontradas formas aumentadas e diminutas de todos os intervalos.

Bom Temperamento (Well Temperament)

Afinações que tentam erradicar os intervalos do lobo ou minimizar seu impacto em um estilo particular de música são também conhecidas como temperamento. Esses temperamentos floresceram do final do século 17 ao final do século 19, época em que o sistema de tonalidade maior e menor também prevalecia.

Andreas Werckmeister (1645 - 1706) propôs vários desses sistemas de ajuste. No conhecido como Werckmeister Temperament III, as notas pretas, os membros mais distantes da série de quintas e as notas mais problemáticas de temperamento mesotônico, são deixadas na entonação pitagórica justa, enquanto as notas brancas são temperadas. O temperamento de Werckmeister usa a coma pitagórica, 531441/524288, que é a base usual do bom temperamento.

Todas as quintas são quintas verdadeiras, ~ 702 cents ou um quarto (pitagórico) a menos. Da mesma forma, as quartas são quartas verdadeiras, ~ 498 cents ou um quarto de coma a mais. As terças principais variam adotando uma das posições de coma de quarto entre 5/4 (cerca de 386 cents) e 81/64 (cerca de 408 cents). As terças menores ocupam posições entre 32/27 (cerca de 294 cents) e 6/5 (cerca de 316 cents). Este esquema tende para um em que os intervalos são igualmente espaçados.

Ao fornecer um espectro de diferentes tamanhos de terças e sextas maiores, menores, o sistema de Werckmeister não apenas facilita a modulação para tons mais distantes, mas imbui cada tecla com seu próprio caráter, uma parte da linguagem musical do século XVIII.

Outras formas de temperamento incluem aquelas propostas por Francesco Antonio Vallotti (1697 - 1780), Anton Bemetzrieder e Margo Schulter. Normalmente, isso envolve deixar as notas brancas e Bb na entonação justa pitagórica e temperar as notas pretas restantes em 1/4 ou 1/6 de uma coma pitagórica.

Temperamento igual

Uma maneira de fechar a sobreposição no círculo das quintas é dividir sete oitavas em doze quintas iguais. Se representarmos uma quinta como T, então T¹² = 2⁷. Cada quinta então se torna 2^7/12, o que resulta em cerca de 1,498307 ou exatamente 700 cents. Por definição, uma oitava vale 1.200 cents, então uma quarta é 500 cents, subtraindo-se uma quinta. A diferença entre uma quarta e uma quinta, um tom inteiro, é de 200 cents. Um semitom equivale a 100 cents. Uma escala cromática de 12 degraus iguais de 100 cêntimos pode ser construída. Na verdade, esta é a razão para definir uma oitava como 1200 cents e a base do sistema de afinação chamado temperamento igual. Essa afinação, ou algo próximo a ela, era usada em instrumentos com trastes, como alaúdes, em meados do século XVI.

Em temperamento igual, todos os intervalos semelhantes permanecem constantes, não importa onde eles ocorram na escala. Os intervalos estão igualmente afinados (e igualmente desafinados) em todas as teclas e a modulação das teclas não é impedida pelo sistema de afinação. A consonância dos intervalos puros é perdida, pois não há mais intervalos puros, exceto a oitava. Todas as bases para chaves diferentes com caracteres diferentes se foram. A utilidade triunfou sobre a beleza.

É aberto o debate se JS Bach (1685-1750) em Well-tempered Clavier estava procurando demonstrar a liberdade de modulação das tonalidades proporcionada por temperamento igual ou as "cores de tonalidades" contrastantes oferecidos por temperamento bom.

Música, além de arte, também é CIÊNCIA.

É por essas e outras que eu digo que o Mestres do Conhecimento é o melhor fórum da internet de todos os tempos...

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