Desvendando o Infinito

Como podemos compreender o ''infinito''?

Existem questões paradoxais na matemática que me deixam maluca.

Por exemplo, existe infinito maior que outro? Por exemplo, uma régua do 0 ao 1 tem infinitos números, e do 0 ao 2 tem infinitos números. Posso dizer que o segundo é maior que o primeiro?

De 0 a 1 tem infinitos pontos e de 0 a 2 tem os mesmos infinitos pontos!

Para perceber isso basta colocar um segmento acima do outro e ligar as extremidades em um ponto. Qualquer reta que passa por esse ponto e intercepta os dois segmentos estabelece uma correspondência biunívoca. Essa correspondência, ponto a ponto, mostra que os dois segmentos tem a mesma quantidade de pontos (infinitos de mesma cardinalidade).

A cardinalidade do conjunto dos naturais N é igual a do conjunto dos inteiros Z, pois podemos fazer uma relação de correspondência biunívoca entre os dois conjuntos.

Seja a função F: Z --> N tal que F(0) = 0, e para todo n > 0, F(n) = n-é-simo número par e F(-n) = n-ésimo número impar. Essa função associa cada número inteiro em Z a um único número natural em N.

É como se puséssemos duas mesas infinitas uma do lado da outra, sendo que sobre uma há uma sequência da pratos, e na outra há uma sequência de xícaras. Como cada xícara está de frente para um prato (isto é, está biunivocamente associada a um prato), podemos dizer que as duas mesas tem a mesma quantidade de elementos, isto é, existem tantos pratos quanto xícaras, mesmo que não possamos "contar" os infinitos pratos e as infinitas xícaras.

Eu sei que se fizermos uma função f:N->R de forma injetiva, isto é, apenas um elemento de R vai estar relacionado com um elemento do domínio N, e se quisermos fazer esta correspondência um a um, ela não será sobrejetora, isto é, a imagem da função não será igual ao R, mas sim menor. Logo, N = Im(f) , mas Im(f) < R => N<R e temos um conjunto infinito menor que outro. Quem garante que o conjunto dos reais é maior que o dos naturais é Cantor. Mas me limito a no máximo reproduzir seu cálculo, sobre tentar encontrar um argumento filosófico. Não é minha área, mas gostaria de pensar junto com os colegas.

De repente fazendo uma análise ingênua, é como pensarmos no espaço infinito e quisermos preenchê-lo em infinitos pontos com infinitos átomos contáveis (ou enumeráveis) de tal forma que teríamos um número infinito de átomos espalhados pelo espaço o qual não seria totalmente preenchido, e ainda mais, teria um espaço ainda infinito de sobra e, por mais que continuássemos preenchendo o espaço com átomos, jamais o espaço pudesse ser totalmente preenchido ainda sobrando um espaço infinito para ser preenchido. Daí pensarmos em um conjunto infinito maior que outro.

Embora um livro de análise tenha inicialmente me convencido que as contas de Cantor faziam sentido, sempre volto nesta questão se não haveria algo que tivesse deixado passar na prova de Cantor e assim poderia haver uma maneira de mostrar um bijeção dos naturais no reais (assim sendo minha ingênua comparação da postagem acima mereceria algum acréscimo de argumentação e poderíamos ver os incontáveis átomos preenchendo todo o espaço). Uma ideia inicial que me passou pela cabeça seria dividir os naturais em subconjuntos de potências de primos (caracterizando assim infinitos e enumeráveis conjuntos infinitos e enumeráveis). Digamos que o conjunto 2ⁿ fosse levado nos racionais. Pois bem, sobraria os irracionais para tentar estabelecer uma correspondência com os outros subconjuntos dos naturais. As potências de 3 seriam levadas nos números 0,1; 0,2; ... ; 0,01; 0,11; ... 0,12; ... 0,12345632453434; ... (todos naturais escritos depois da vírgula seria uma boa forma de pensar em todos os números entre 0 e 1. De repente nem se faz necessário o uso da correspondência entre potências de 2 e os racionais, basta pegar intervalos entre n e n+1. Mas nas contas de Cantor não seria possível tal correspondência. Mas a primeira vista vou sendo levado a acreditar que é possível. Paradoxo ou erro de cálculo?

Ah, ainda na minha ingênua ideia podemos pensar no átomo não como o conhecemos agora, mas como sendo algo indivisível, correspondente a um ponto (o qual conceitualmente é indivisível - sem dimensão).

Só pra melhorar meu argumento, podemos escrever todos os naturais de trás pra frente (ou vistos por um espelho) depois da vírgula, esgotando assim todas as formas de se escrever números decimais entre n e n+1. Aí sim aplicamos o argumento que mencionei acima de dividir os naturais em conjuntos de potência de números primos (e suas combinações também) e assim associar os elementos desses conjuntos (que são enumeráveis) com os números entre n e n+1. Só entraríamos em problemas de números equivalentes como 0,9999..... com o 1 por exemplo. Daí que entraríamos no problema que Cantor demonstrou: a não possibilidade de uma bijeção dos naturais com os reais (mas eu usaria a prova feita por ele para demonstrar, já que minha argumentação tentou ir por um lado mas tropeçou em algo como o número 1 e 0,9999...). Mas unindo a minha argumentação (se não ficou clara posso tentar melhorar) com o dito por Cantor não fica claro se os reais seriam maiores que os naturais, talvez até o inverso.

Podemos compreender o "limite" de cada infinito pela "imagem" deixada pelas medidas. Temos como exemplo as f(x)s que lidam com "iguais infinitos", mas limitados pela sua "imagem". Logo, podemos afirmar que a "tendência" mantém a ordem na "infinitude".

Vejam a seguinte equação:

A + B = X

Onde A inicia com o valor 1 e B inicia com valor 1.
Cada vez que repetimos a equação A iniciará agora com o valor de X.

Obtemos a seguinte sequência infinita:

1 + 1 = 2; 2 + 1= 3; 3 + 1 = 4; 4 + 1 = 5 e assim sucessivamente... Sempre adicionamos 1 para obter o próximo termo da sequência.

Observe que a importância de B decresce em relação A e X.

Ou seja:

No inicio B vale 50% de A --> 1 é 50% de 2;
Na segunda B vale aproximadamente 33,4% de A --> 1 é 33,4% de 3;

No infinito, qual será a porcentagem de B em relação a A e X?

lim x->inf.(1/(x+1)) = 0

Isso não significa que vai ter um número que somado a um dá ele mesmo...

X - X = -B(-1)
(X - X) (-1)= -B(-1)
0 = 1

?

De onde você tirou essas equações?

Acho que ele viajou.

A + B = X

A - X = -B

No infinito:

X - X = -B(-1)
(X - X) (-1)= -B(-1)
0 = 1

De onde surge esta equação?

X-X = -B(-1)

No infinito... X = A!

Veja, a cardinalidade de um conjunto infinito enumerável geralmente é chamada de aleph0.

Aleph0 tem a seguinte propriedade: Aleph0 = Aleph0 + 1

Isso não significa que você pode substrair Aleph0 de ambos os lados e chegar que 0 = 1.

Você está transpondo propriedades que valem para o caso finito para o caso infinito, o que é ilegítimo...

Meu caro amigo, há infinitos dentro de infinitos. As magnitudes dos infinitos possíveis não são iguais.

Estive pensando, qual o infinito último?

Atomic Boy escreveu:Estive pensando, qual o infinito último?

Não pense....

Em ZFC, NBG, KM, etc... Não existe um maior infinito. De fato, você pode tomar modelos arbitrários para ambas teorias cada vez maiores que contém "mais infinitos" dentro.

O infinito é indispensável à Matemática?

Aparentemente a resposta seria SIM, já que praticamente todos os resultados conhecidos de Matemática que são importantes e aplicáveis usam o conceito de infinito. Talvez se poderia dizer que os resultados de aritmética de Peano não usam um conjunto infinito, mas essa teoria aceita um axioma que força o conjunto de números naturais ser infinito.
Mas isso não é estranho de certa forma? Isso porque nosso universo físico dá evidências fortes de ser finito e discreto. Primeiro por causa da natureza atômica da matéria, segundo porque sabemos que a extensão do universo talvez seja finita pela limitação imposta pelo Big-Bang, terceiro por causa da mecânica quântica, já que se sabe que a transferência de energia se dá por meios discretos. Pode ser que, de fato, não exista nada infinito no universo. Mas como pode algo que não sabemos nem se existe (fisicamente) ser uma das ferramentas mais importantes da Matemática, que por sua vez é uma das principais ferramentas da física?

E uma pergunta interessante:
Será que é possível reescrever os resultados clássicos da Matemática sem usar o infinito??

Olha só...

Todos os números naturais são finitos?

O conjunto dos números naturais (lN) é infinito, porém composto apenas por elementos finitos. E isto porque adicionar 1 a quantidades finitas sempre resulta em quantidades finitas (embora, intuitivamente, não me esteja claro que adicionar infinitamente 1 a quantidades finitas possa, de algum modo, evitar elementos infinitos).

Queria compreender melhor isto (ou compreender e ponto, rs).

Elaborei o seguinte raciocínio, que expressa bem a intuição de que a afirmação acima é impossível. Vou numerar as premissas, de forma a facilitar que me apontem onde pode estar o erro.

(E, por favor, isto é um exercício de compreensão, não uma afirmação arrogante de que a teoria está errada. Estou apenas tentando conciliar pontos aparentemente conflitantes. E, claro, pensar e fazer pensar sobre o assunto. [#agora-já-sei-onde-estou-rs])

1 Se o conjunto lN é infinito, então a reta lN é infinita.

lN 1___2___3___4___5___ (...)

2 A borda (...) implica que a reta se estende infinitamente.

3 O valor de todo e qualquer número natural corresponde à sua posição na reta.

3.a O valor do quinto elemento é 5.

4 Se a reta se estende infinitamente, então tem que haver trechos situados em partes infinitamente distantes dela.

4.a O seguinte embaralhamento de lN [pares-não-primos (...) primos (...) ímpares-não-primos (...)] parece reforçar o ponto 4:

lN 4___6___8___(...)___ 2 ___3___5___ (...)___1___9___15___(...)

4.b Acima, a reta lN é a mesma, porém embaralhada. E há um intervalo infinito entre 8 e 2, ou 5 e 1. De modo que o trecho 2, 3, 5 parece um exemplo concreto de um trecho situado numa parte "infinitamente distante" da reta lN (afinal, este trecho vem após os pares, que são infinitos).