Desvendando o Infinito

Ops...

Esfera de Riemann e funções meromórficas... este foi o caminho trilhado por Ele, Riemann, para este problema. Vale dar uma olhada!
Tive grandes dores de cabeça por conta desta questão!!!
Ótimo post!!!

Ops II

Não devemos pensar sobre este problema com a nossa matemática (ordinária... ou elementar).

A única maneira de pensar com a matemática básica (sim, dá pra pensar) é entender que definimos, sobre os reais, a operação de divisão (na verdade operação de produto onde o divisor é o inverso de algum número real, isto é, se temos a/b como operação, temos a.b-¹ onde b-¹ é inverso de b) como função (pensar no produto ou na divisão em separado, ainda assim, a operação vai ser uma função). Sendo esta operação tendo sido definida como função, 1/x = 0 deve ter um único valor x tal que a equação seja satisfeita. mas 1/x = 0 equivale a 1 = x.0. Assim geramos uma contradição. Logicamente não é possível encontrar argumentos que satisfaçam esta equivalência e a tornem verdadeira. Criaram um conjunto com reta estendida incluindo infinito nas operações. Mas pelo que vejo, nem toda operação é possível incluir infinito. Eu também não estudei sobre isso a ponto de discutir, então paro por aqui.

O infinito da Esfera de Riemann (ou em qualquer corpo estendido) não funciona exatamente como um número no sentido que as operações continuam se comportando bem.

1/x = y

Hipérbole...
Não existe solução real pra x=0 nem y=0

Infinito não é número.

Para este problema deve-se utilizar lim.

lim 1/x ≈ 0

x ≈ ±∞

Gráfico:

Deve-se nada.

Não há solução real.

Costumo perguntar: Qual é o resultado de qualquer número dividido por zero?
Tipo assim: Quanto é cinco dividido por zero?
Costumo ouvir como resposta: Zero, cinco, um... e já me disseram que é um número infinito, o que vocês me diriam?

uaehuhehe

Tratar com infinito é...além de Cantor...

Mas não agrada quando dizem que dividir por zero é uma impossibilidade. Parece uma fuga.

É intuitivo que qualquer número finito, diferente de zero, dividido por zero, vai dar um quociente (cociente) (= quantas vezes) que tende para infinito.

Se se divide A por B, obtém-se Q. E se, em sucessivas divisões, se vai diminuindo B, o que acontece? Obtém-se (com esta tal reforma, cai este sinal, que nem verruga?) um cociente Q, cada vez maior. Então, no limite, quando B se torna o menor possível, zero, Q, crescente, se torna o maior possível, "oito deitado"- como o Brasil, no berço esplêndido -, infinito.

Agora, zero dividido por zero, este é indeterminado. Porque qualquer número responde, serve:

0/0 = I, já que I . 0 = 0, para qualquer I (finito?).
Vixe.

0/0 pra mim não tende ao infinito, é simplesmente indeterminado. Qualquer número multiplicado por 0 resulta em 0 (a operação inversa).

5/0 é impossível (qualquer número vezes 0 é zero), mas 5/x com x tendendo a 0 é que é infinito.

Esse é o limite... que é diferente de dizer 5/0 é infinito.

Operações com o zero:

a) O zero adicionado a outro número não altera este número. Exemplos: 2 + 0 = 2 e 0 + 2 = 2.

b) O zero subtraído de outro número não altera este número. Exemplo: 2 – 0 = 2.

c) Um número subtraído de zero é igual ao oposto deste número. Exemplo: 0 – 2 = –2.

d) O zero multiplicado por outro número sempre será igual a zero. Exemplos: 2 x 0 = 0 e 0 x 2 = 0.

e) O zero dividido por outro número (diferente de zero) sempre será igual a zero.

Exemplo: 0 ÷ 2 = 0.

f) Nenhum número (diferente de zero) pode ser dividido por zero. Exemplo: 2 ÷ 0 = ? → ? x 0 = 2.

g) Zero dividido por zero pode ser igual a qualquer número. Exemplo: 0 ÷ 0 = n → n x 0 = 0.

h) O zero elevado a qualquer número positivo sempre será igual a zero. Exemplo: 0³ = 0 x 0 x 0 = 0.

i) Todo número (diferente de zero) elevado a zero é igual a 1. Exemplo: 2º = 1.

j) Zero elevado a zero não pode ser determinado, pois todo número elevado a zero é 1 e zero elevado a qualquer número é zero. 0º = ?.

k) A raiz de índice positivo de zero sempre será igual a zero. Exemplo: ³√0 = 0 → 0³ = 0.

l) De nenhum número (diferente de 1) pode ser extraída a raiz de índice zero.

Exemplo: º√2 = ? → ?º = 2.

m) A raiz de índice zero de 1 pode ser igual a qualquer número. Exemplo: º√1 = n → nº = 1.

n) O logaritmo de 1 em qualquer base (diferente de zero) sempre será igual a zero.

Exemplo: log₂ 1 = 0 → 2º = 1.

o) O logaritmo de zero em qualquer base (diferente de zero) não pode ser determinado.

Exemplo: log₂ 0 = ? → 2_? = 0.

p) O logaritmo de qualquer número (diferente de zero) na base zero não pode ser determinado.

Exemplo: log₀ 2 = ? → 0_? = 2.

q) O logaritmo de zero na base zero pode ser igual a qualquer número positivo.

Exemplo: log₀ 0 = n → 0_n = 0.



Impossibilidades operatórias:

a) Não existe divisão por zero, ou seja, não existe divisor igual a zero.

b) Não existe zero elevado a zero, ou seja, não existe base e expoente ambos iguais a zero.

c) Não existe raiz de índice zero, ou seja, não existe índice do radical igual a zero.

d) Não existe logaritmo de zero, ou seja, não existe logaritmando igual a zero.

e) Não existe logaritmo na base zero, ou seja, não existe base do logaritmo igual zero.

Infinito escreveu:j) Zero elevado a zero não pode ser determinado, pois todo número elevado a zero é 1 e zero elevado a qualquer número é zero. 0º = ?

Há controvérsias, já vi alguns defendendo uma convenção para zero elevado a zero.

Em caso de controvérsia sobre as proposições que expus, gostaria também da seguinte análise. Até que ponto posso levar adiante tais proposições para definir o fechamento entre cada uma das 7 operações acima e os seguintes conjuntos:

I) inteiros positivos

II) racionais positivos

III) reais positivos

IV), V) e VI) (cada um dos três conjuntos acima incluindo o zero)

VII), VIII) e IX) (cada um dos três últimos conjuntos incluindo os seus conjuntos de simétricos aditivos correspondentes)

Por exemplo, dado o racional positivo, se a/0 não existe no conjunto V), este não é fechado para a divisão, mas o II) é. Então a veracidade destas questões dependem da veracidade do que se propõe sobre o zero, além dos casos envolvendo números negativos.

Com o intuito de aplicar o zero nas sete operações aritméticas, eu deduzi as proposições do 1º grupo a partir da l) e as do 2º a partir da c). As demais adquiri nos livros. São essas então que preciso que sejam avaliadas mais atentamente, para que eu possa verificar todos os fechamentos que mencionei.

Acho que tem como analisar a questão do fechamento com auxílio de um livro de análise real ou álgebra. Como esses conjuntos que você mencionou são anéis (exceção dos inteiros que é grupo), acho que é possível ver isso através de proposições e teoremas clássicos sobre o assunto.

Já eu, discordo. Acho que é mais coerente adotar 0⁰ = 1, em geral. Já o resto que foi colocado, eu concordo.

E eu nem estou considerando estruturas algébricas e análise para isso, estou apenas em aritmética clássica e fazendo deduções mais independentes. Bom, estou num tema que se mostra realmente mais universal do que costumam considerar: números.