Desvendando o Infinito

5 Abaixo, o número X precisa ser natural, pois está na reta lN.

lN 1___2___3___4___5___ (...) ___X___ (...)

6 Entre 5 e X, há um trecho infinito da reta.

7 X está situado após um trecho infinito da reta.

8 X está situado em um ponto (y) específico da reta.

9 A posição de X é, portanto, específica (posição y) e infinita.

10 O valor de X corresponde à sua posição.

11 X não é 5º ou 100º elemento, mas o ^∞yº (infinitésimo-y) [por analogia, considere o 100º como "finitésimo-100"].

Conclusão O valor de X é ^∞y (infinito-y).

Fim do argumento.

O que vocês têm a dizer?

P. S.: De preferência, fazer objeções frontais ao argumento acima. Ele tenta estar na forma de uma dedução válida, com premissas verdadeiras. Conteste diretamente uma coisa ou outra. Qualquer prova matemática ou raciocínio geral laterais que digam: "isto prova que lN só possui elementos finitos; nem faz sentido um elemento infinito; portanto tem de haver *algo* errado no argumento acima" pode estar certa, mas não terá apontado onde está o erro acima, afinal.

Objeção à premissa 2:

"A borda (...) implica que a reta se estende infinitamente".

Que poder tem a reticências!

Imagine uma sequência de casas, e depois dela eu desenho o "(...)". Isso implica que esta sequência de casas se estende infinitamente?!

Parece-me que os (...) quer dizer que a reta pode se estender até onde eu queira...

Isto é, há uma regra para a geração do próximo elemento, mas isso não significa que com ela estão dados em ato todos os potencialmente infinitos elementos...

Ótimo.

Possível problema: isso parece violar a premissa 1. Ou a reta lN é infinita, ou não é. Se é, as reticências em 2 meramente simbolizam isso - como a reta pode ser infinita se não se estende infinitamente? Se não é, o conjunto dos naturais tampouco é infinito.

Ou existe algum sentido inteligível em que o conjunto lN seja infinito, embora a reta lN não o seja? Não são versões da mesma ideia?

O que você quer dizer quando o conjunto dos naturais é infinito? Que ele existe no mundo das ideias infinito?

Quero dizer que, se lN é mesmo infinito, então ele precisa ser infinito em qualquer que seja o seu enquadramento: metafísico, formalista, logicista, etc.

Seja o que for, ser infinito é diferente de ser processo sempre finito, jamais infinito, que prossegue indefinidamente.

Quais as evidências para que algo infinito (seja lá o que for) exista? Por que eu não posso dizer que tudo o que existe é o finito que pode ser aumentado de +1 indefinidamente?

Até esse ponto da argumentação, você pode dizer isto. E talvez esteja certo. Mas isso é a negação do infinito de fato; e, portanto, implica a negação de que lN seja infinito de fato.

Se toda a sua argumentação sobre negar o infinito atual funciona, por que abrir uma exceção para "o todo" de lN ?

Mas acho que minha pergunta é vã, rs. Me parece que você está disposto a (ou pelo menos acha plausível) negar todo infinito atual e, portanto, abandonar a Teoria dos Conjuntos. Se só pode haver "tantos elementos quanto se queira", e se só se pode "querer" finitos elementos, então não se pode atingir tal coisa como um conjunto lN infinito.

De minha parte, isso é coerente - embora eu siga pelo outro caminho, do infinito, rs.

Se isto é tudo... Próximo? rsrsrs

X está nas mesmas condições que 2 no seu exemplo:

lN 4___6___8___(...)___ 2 ___3___5___ (...)___1___9___15___(...)

Assim, como 2 não é finito, nada implica que seja. Sua descrição não é um argumento formal para a matemática.

2 não é infinito porque a lista está embaralhada. Mas a posição de 2 é infinita (pois está vindo após um trecho infinito da reta). De modo que, se trocássemos cada número por sua respectiva posição (o que significaria desembaralhar a lista), teríamos um número infinito na posição de 2.

A lista embaralhada serviu pra ilustrar que, se a reta é infinita, então possui trechos separados por intervalos infinitos.

Entendi agora. A resposta é que não existe uma reta como

lN 4___6___8___(...)___ 2 ___3___5___ (...)___1___9___15___(...)

Você consumiria todas as posições disponíveis na reta dos naturais só para distribuir 4___6___8___(...). De modo que não sobraria espaço para distribuir 2 ___3___5___ (…), que dirá o ___1___9___15___(...). Você só conseguiria distribuir esses números na reta dos naturais se os distribuísse de forma sortida ou alternada, mas nunca primeiro distribuindo uma carreira infinita e logo em seguida outra. Algo assim só é possível na reta dos Reais, que possui uma cardinalidade infinita superior a dos naturais.

Interessante.

Imagino mesmo que, se há problema, está na premissa 4.

No entanto, a solução (a reta infinita tem "todas as suas posições consumidas" - as posições disponíveis, que são infinitas, se esgotam?) parece pior do que o problema, à primeira vista. Parece paradoxal.

Pra piorar, parece que percebi que o conjunto ordenado {0,2,4,6,..., 1,3,5,7,...} é possível. E é um caso perfeitamente análogo ao da reta, se vejo bem. No caso aí, a posição de 1 é uma posição infinita.

Talvez a persistente sensação de que, na série {0,2,4,6,..., 1,3,5,7,...}, o 1 "nunca chega" seja apenas a sensação de que, em tempo finito (ou melhor, em etapas finitas), ele nunca chega. Mas, em infinitas etapas (e concordamos que a série dos pares é feita de infinitas etapas), ele tem que chegar. Ou, se realmente é impossível que chegue, isto deveria nos levar à posição do forista ''Infinito'': não há infinito in all.

A dificuldade é encontrar uma concepção de infinito capaz de não conter trechos, em sua extensão, separados por intervalos infinitos. Parece impossível para qualquer coisa que se diga ser realmente infinita. Um espaço infinito, por exemplo, deveria conter pontos infinitamente distantes entre si. É difícil tornar coerente a negativa deste ponto.

Pelo menos, é o que me parece.

Meu caro, não há paradoxos, em 4 ___6___8 (....) o 4 vai para a posição 1 da "reta dos naturais", o 6 vai para posição 2, o 8 para a posição 3 e assim por diante, não há vez para o 2. Imagine duas mesas infinitas, uma contendo só garfos e a outra só facas, de modo que cada garfo na mesa 1 esteja de frente para uma faca da mesa 2. É fácil ver que ambas as mesas infinitas possuem a mesmas quantidade de objetos, já que existe um pareamento um pra um dos objetos de cada mesa. O mesmo você faz com 4_6_8(...) em relação à "reta dos naturais", por isso não há mais com que emparelhar o 2. Busca "cardinais transfinitos Cantor" no google, que você vai se informar melhor sobre a natureza do infinito, pois você está formulando perguntas em cima de informações imprecisas.

Eu realmente desconfio que há alguma coisa muito mal compreendida subjacente a esse (aparente?) paradoxo que levantei. E acho que o "conjunto ordenado" dá igual, aqui.

Eu conheço um pouco a noção matemática de Infinito, os transfinitos de Cantor. Pelo menos, com certeza eu já sei bem mais do que uma olhada de meia-hora, pelo Google, me faria saber. Mas ainda estou aprendendo, é verdade. Em todo caso, foi justamente pensar sobre isso que me criou a dúvida, além de outras. Sinto que a ideia básica de que um conjunto infinito só inclui trechos finitos é um estranho pressuposto. Parece paradoxal. E parece que resultados como os transfinitos de Cantor decorrem desse pressuposto.

Por exemplo, você tenta evitar o paradoxo evocando que os pares se pareiam um-a-um com os naturais. Mas, outra vez, é preciso pressupor que, no caso infinito, o pareamento um-a-um (que não estou questionando) é suficiente para termos igualdade de elementos. Duvido que isto seja inquestionável. É considerado um princípio, não? Princípio de Hume. Mas não deixa de ser uma arriscada generalização, do finito para o infinito. E produz resultados estranhíssimos como "retirar metade dos elementos (os pares, por exemplo)" é idêntico - para a quantidade de elementos! - a "não retirar elemento algum". Uma identidade paradoxal. Retirar = não-retirar.

O que exatamente Cantor quer dizer com "relação de similaridade"? O que exatamente define essa propriedade, que {0,1,2,3,...} e {1,2,3,....0} não estão compartilhando? (afinal, eles tem o mesmo número de elementos / cardinalidade)


Aliás, outra pergunta: existe diferença, nos casos infinitos, entre "cardinalidade" e "quantidade de elementos"?

Existem infinitas bijeções entre {1, 2, 3...} e {1, 2, 3... 0}. Isso mostra que têm a mesma cardinalidade. Como o segundo tem ponto final e o primeiro não, segue-se que não têm o mesmo tipo de ordem (correspondem a ordinais diferentes).

Mr. Enigma escreveu:Duvido que isto seja inquestionável.
(...)
Aliás, outra pergunta: existe diferença, nos casos infinitos, entre "cardinalidade" e "quantidade de elementos"?

Isso não é inquestionável. É preciso tem em mente que, quando se fala em "quantidade de elementos" (ao contrário de "cardinalidade"), todas as aspas estão ali - não se trata de uma noção matemática definida precisamente. Duas intuições guiam nossas ideias acerca de "maior/menor/mesma quantidade": (i) se existe bijeção entre dois conjuntos, eles têm a mesma quantidade de elementos; (ii) se um conjunto contém estritamente outro, aquele é maior que este e este é menor que aquele. No infinito, não é possível conciliar (i) e (ii). Se adotamos (i), o conjunto dos pares e o dos naturais têm a mesma "quantidade de elementos", embora este contenha estritamente aquele. Se adotamos (ii), então o último é "maior" que o primeiro.

Existem teorias matemáticas do infinito, muito menos conhecidas que a de Cantor, que tencionam "medir" o infinito valendo-se de critérios que tentem respeitar a intuição (ii), e abandonam a (i). Por exemplo, pode-se usar o conceito de "densidade assimptótica", da teoria dos números, para "medir infinitos". Com esse critério, o conjunto dos pares teria a mesma "quantidade de elementos" que o conjunto dos ímpares, mas ambos seriam "maiores" que o conjunto de números divisíveis por 3 (embora tenham a mesma cardinalidade) e "menores" que o conjunto dos naturais (embora também tenham a mesma cardinalidade).

A respeito, consulte-se a exposição histórica de Paolo Mancosu sobre o assunto (este post é um resumo tosco do mesmo): "Measuring the Size of Infinite Collections of Natural Numbers", The Review of Symbolic Logic, vol.2, n.4.

Quanto à sua primeira pergunta, a resposta é afirmativa, por definição.

Obrigado pela explanação. Inclusive ainda não falei sobre o Hotel de Hilbert. E eu imagino que, pra adicionar mais um cliente, é preciso adicionar mais um quarto "na borda de lá do infinito", rs. Ok, loucura. Mas estou persuadido de que, no caso do infinito, o número de elementos não deixa de ser específico e, tanto quanto no caso finito, é alterado quando se adiciona ou retira elementos.

Talvez haja algo muito poderoso, na teoria matemática, para me convencer do contrário. Mas sou uma pessoa que, quando for estudar, terá isso sempre em mente.

Fiquei muito feliz de ver que não é simplesmente consenso a questão toda sobre a infinitude. Até fui levado a pensar nas "diferentes densidades" entre os pares e os naturais. De modo que foi ótimo saber deste "Measuring the Size of Infinite Collections of Natural Numbers".

Se puder, me diga algo mais sobre o que exatamente é esta "densidade assimptótica".

Quem é Cantor?

Georg Cantor. Matemático e lógico alemão nascido na Rússia. Desenvolveu a Teoria dos Conjuntos e o conceito de números transfinitos. Foi professor da Universidade de Halle, a partir de 1872, quando apresentou seu teorema sobre a diferenciação de cardinalidade entre os números reais e racionais. Ao tentar provar a hipótese do contínuo, foi duramente atacado por não chegar a uma conclusão consistente, o que agravou seu estado de saúde mental. Uma forte depressão o abateu obrigando seu internamento num manicômio, onde terminou seus dias, antes de ser reconhecido como pensador genial. Seus textos foram publicados, principalmente, no Jahresberich der deustschen Mathenatiker–Vereiningung (Anais da Associação Matemática Alemã, 1892).

Ele também tinha um dedo nos fractais...

O famoso conjunto de Cantor, onde iniciamos com um intervalo de 0 a 1 e retiramos um terço central (ou seja, ficamos agora com dois intervalos de tamanho 1/3: de 0 a 1/3 e de 2/3 a 1).

E repetimos o processo de retirar o intervalo central nos intervalos que sobraram.

Muito tempo depois, vem Mandelbrot com a teoria dos fractais e utiliza vários conjuntos famosos para expor suas ideias de dimensão fracionária.

O fundador da teoria dos conjuntos havia usado definições um tanto informais de conjunto e outros conceitos-chave.

Georg Cantor, evangélico luterano, elaborou suas teorias matemáticas sob a inspiração direta daquilo que chamou de "filosofia cristã". Bruce Hedman afirma que o conjunto de teorias de Cantor baseia-se na distinção entre a racionalidade absoluta de Deus e na natureza criada e contingente da racionalidade humana. Ver "Cantor´s Concept of Infinity: Implications of Infinity for Contigence", Perspectives on Science and Christian Faith 45, n.1, (março de 1993).

Ao tornar essas definições mais claras e selecionar os axiomas corretos, os adeptos da teoria dos conjuntos esperavam resolver os paradoxos problemáticos, da mesma maneira que a aplicação rigorosa do método axiomático tinha solucionado os problemas...