Desvendando o Infinito

Da mesma forma, você poderia dizer que é uma contradição se pressupomos infinitos passos para chegar de 0 até ômega, mas que voltamos ao 0 em um número finito de passos. Isso só aparentemente é uma contradição. Mas a teoria de conjuntos é complicada mesmo.

Uma vez fiz um curso sobre a construção dos números reais feita por Lebesgue através de segmentos e decimais. Para ele, tal construção deveria ser mais intuitiva do que aquela dos "cortes de Dedekind". Ele acreditava que o abandono dos números decimais em benefício das frações, embora trouxesse facilidades de cálculo limitava uma visão bastante construtiva para o corpo dos números reais. No seu artigo, acho que é o capítulo de um livro, Lebesgue demonstra com argumentos geométricos e usando números decimais que o 0,99999... não existe, uma vez que para cada segmento está associado um único decimal, e o segmento associado ao 0,999... é o mesmo que o segmento associado ao 1. Pra finalizar, no final ele constrói um isomorfismo entre os "decimais" e os "cortes", o que torna ambas as construções equivalentes. Vou fuçar nas minhas coisas e assim que eu achar o arquivo eu o disponibilizo.

1/3 = 0,333...

2/3 = 0,666...

3/3 = 1

Assim, aquele papo que o conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros que é um subconjunto dos números racionais e que a união com os irracionais resulta nos reais é furado. O conjunto dos naturais não é subconjuto dos inteiros...

Isso não é verdade. Esse problema é facílimo de ser resolvido e normalmente os livros de teoria de conjuntos o resolvem. Se temos os naturais: 0, 0 U {0}, {0} U {{0}}, {0, {0}} U {{0, {0}}} isto é, 0, 1, 2, 3... e se os inteiros são definidos como pares de naturais (para ficar no exemplo mais simples), então basta adaptar a construção dos naturais como sendo pares adequados: (0, 0), (1, 0), (2, 0)...

Com isso N continua sendo subconjunto de Z.

Eu discordo, não podemos definir uma coisa duas vezes...

Mas se por definição (nova definição) 1 (natural) = 1 (inteiro), isso falsifica extensionalidade (sendo as definições feitas em teoria de conjuntos, ZFC por exemplo).

A mesma coisa acontece se definirmos primeiro os naturais como ordinais de von Neumann e depois definirmos como Zermelo.

O conjunto dos naturais (N) é um subconjunto dos inteiros (I) se todos todos elementos de N são elementos de I.

Isso não ocorre. 0 (vazio) pertence a N mas não pertence a I.

O que você quer dizer, eu acho, é um isomorfismo entre os números naturais e os inteiros positivos.

Isso me parece argumento de autoridade. Se o matemático aceita teoria de conjuntos para fundamentar a matemática, ele deve aceitar que os naturais não são subconjuntos dos inteiros. Ou então não se aceita teoria de conjuntos.

Resumindo, estamos falando de teoria de conjuntos e definições lá feitas. Zero é o conjunto vazio.

O que Professor Black está dizendo é que, durante a construção dos reais em ZF, os números naturais, os inteiros e os racionais podem ganhar uma NOVA DEFINIÇÃO como números reais, de modo que aquela relação de cada conjunto de números ser subconjunto do outro seja preservada.

Obrigado, Mr Enigma. Foi isso o que eu quis dizer.

Atomic Boy escreveu:Eu discordo, não podemos definir uma coisa duas vezes...

Podemos e fazemos. Se em um dado contexto quisermos falar só de naturais, então podemos ficar com a definição de von Neumann ou com a de Zermelo, sem problemas. Mas se quisermos tratar todos os números de uma vez, então temos que adaptar as definições de modo que N seja subconjunto de Z, Z seja subconjunto de Q, etc.. Por quê? Porque, se a teoria de conjuntos deve servir de fundamento para a matemática, ela não pode contrariar um fato básico aceito pela comunidade matemática. Nenhum matemático aceitaria axiomas para matemática que falsificassem coisas básicas aprendidas na escola. A teoria de conjuntos como fundamento deve ser capaz de descrever a pratica matemática, ela não pode ser só normativa.

Mas se por definição (nova definição) 1 (natural) = 1 (inteiro), isso falsifica extensionalidade (sendo as definições feitas em teoria de conjuntos, ZFC por exemplo).

Por que falsifica? A ideia é exatamente ter 1 (inteiro) = 1(natural.

A mesma coisa acontece se definirmos primeiro os naturais como ordinais de von Neumann e depois definirmos como Zermelo.

Aqui são coisas diferentes. São definições possíveis de número. Deve-se escolher uma e pronto.

Esse é um ponto tão pacífico que nem sei porque estamos discutindo. Você está querendo achar pelo em ovo.

Atomic Boy escreveu:O conjunto dos naturais (N) é um subconjunto dos inteiros (I) se todos todos elementos de N são elementos de I.

Sim.

Isso não ocorre. 0 (vazio) pertence a N mas não pertence a I.

O vazio só pertence a N se você definir o zero (e note que não digo "o zero natural" em oposição a "o zero inteiro") como sendo o vazio. Mas você não precisa fazer assim. Então N é subconjunto de Z, como deve ser.

O que você quer dizer, eu acho, é um isomorfismo entre os números naturais e os inteiros positivos.

Não quero dizer isso. Isso não é suficiente. É preciso que N seja subconjunto de Z.

Isso me parece argumento de autoridade.

O argumento é de autoridade mesmo. Nem todo argumento de autoridade é ilegítimo. Os matemáticos dizem: N é subconjunto de Z. Aí você diz aos matemáticos: vejam, fundamentei a ciência de vocês a partir de uns poucos axiomas, mas tem um problema, N não é subconjunto de Z na minha fundamentação. Os matemáticos vão dizer: lamento, mas então você fundamentou outra coisa, não a nossa ciência.

Se o matemático aceita teoria de conjuntos para fundamentar a matemática, ele deve aceitar que os naturais não são subconjuntos dos inteiros. Ou então não se aceita teoria de conjuntos.

Isso não é necessário. Tanto é assim que os matemáticos aceitam ZF e N continua sendo subconjunto de Z.

Resumindo, estamos falando de teoria de conjuntos e definições lá feitas. Zero é o conjunto vazio.

Note que, de acordo com a construção acima, o conjunto N dos números naturais não é um subconjunto do conjunto dos números inteiros Z. Para resolver esse problema desagradável, adotamos uma identificação: identificamos cada número natural n com o número inteiro [n,0].

etc. etc. etc.

Isso é feito na teoria de conjuntos.

Isso é pacífico sim. Mas, se você gosta de ficar discutindo teorias de cem anos atrás que podem levantar algum problema sobre o fato de N ser subconjunto de Z, ótimo. Direito seu. Be happy. Mas nenhum matemático hoje coloca isso em questão. Nem os que fazem fundamentos. Como eu disse, você pode apresentar o fundamento que quiser. Se N não for subconjunto de Z, seu fundamento não é um fundamento para a matemática.

Pra terminar, um conselho: Proponha no próximo congresso de matemática que o zero não é um número inteiro....

0,999999... = 1?
SIM, e qual é o problema disso. A definição de 0,999... obriga esse número a ser igual a um. E isso é indiscutível.

A definição de limite como a conhecemos força 0,999... a ser igual a 1. Número não é sinônimo de expansão decimal.

Pra ser mais preciso:

Num corpo ordenado arquimediano completo, o limite da sequência 0,9 0,99 0,999 ... é 1.
Ou mais precisamente, dada a sequência (0,9; 0,99; 0,999; ...), dado epsilon existe sempre um N tal que dado um termo de índice maior que N (ou seja, possui pelo menos N noves na expansão decimal), esse termo está distante de 1 menos que epsilon.

Dá pra provar via soma de PG, também.

0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...

Sn = (a1) / 1 - q

Sn = 0,9 / 1 - 0,1

Sn = 0,9 / 0,9

Sn = 1

Aproveitando o ensejo, alguém conhece alguma construção dos irracionais que não seja axiomática?

Cortes de Dedekind. Geralmente são feitos dentro de ZF e, portanto, são construções axiomatizadas. Mas podem ser feitos informalmente; à época de Dedekind, a teoria de conjuntos não havia sido axiomatizada.

Mas para fazer um corte é necessário que a "lacuna" criada seja um irracional ou imaginamos que é assim. Então mesmo em ZF os irracionais são postulados na criação dos reais. É isso?

Ao construir os reais, você obviamente também constrói os irracionais.

Se o seu interesse é num determinado irracional, então é claro que a lacuna deve defini-lo univocamente - não basta "imaginar que é assim" (eu não entendi essa parte da sua mensagem).

O problema é: dos naturais aos inteiros é por necessidade operacional que os criamos, assim como dos inteiros aos racionais. Ou seja, tudo isto é de fato construído nasce de dentro da teoria. O problema com os irracionais é que não dá para percebê-los desse mesmo modo. Segundo a definição do corte de Dedekind ele quer dois conjuntos (A,B) não vazios de números racionais, tais que A não possui elemento máximo, A U B = Q e dados x E A e y E B quaisquer, tem-se x < y. Como seria possível criar tal definição se o objetivo não fosse exibir os irracionais. Nunca tal definição seria feita se não conhecêssemos este tipo numérico. Entende? O problema é que mesmo com os cortes a teoria ainda é artificial. Acho que seria mais normal postular a existência e depois mostrar os cortes, mas construir não é uma boa palavra para o que se faz.

É claro que o movimento dos racionais aos reais e dos reais aos complexos também se dá por necessidade operacional, por necessidade de obter-se um corpo fechado sob todas as operações. E daí que a construção de Dedekind é artificial? Identificar um número inteiro com um par de números naturais e identificar um número natural com um conjunto também é um procedimento artificial.

Agora, se você não está satisfeito com a proposta de Dedekind, use qualquer outra que sirva aos mesmos propósitos, como séries de Cauchy. Ou então fique feliz com o que os gregos já sabiam, que são números que não podem ser expressos como a razão de dois outros. Ou, ainda, aceite o que a sua professora dizia, que são números cuja expansão decimal é infinita e não tem um período que se repete.

Para que postular algo que pode ser definido com o material que você já tem?

OK!!!!!!

A ideia de número real não é nova. A ideia de continuidade foi fundamental para a construção do Cálculo diferencial e integral. A diagonal de um quadrado de lado 1 é um real que causou polêmica junto aos pitagóricos.

O problema era identificar como a partir dos naturais se chegaria aos reais. Até onde eu pude observar e estudar (ainda que superficialmente), os cortes de Dedekin é uma excelente forma de fazer essa ligação.

Conheci também uma outra abordagem que tratávamos por "cobertura" equivalente aos cortes de Dedekin, mas faz tanto tempo que perdi na memória os fundamentos dessa abordagem.

Os cortes me pareceram tão simples que não me lembro de ter estudado outras formas de construção dos reais. Gostaria de conhecer, então se alguém tem sugestão de literatura eu agradeceria.

Seguindo o exemplo do Homem Vitruviano, também vou aproveitar o ensejo e me desculpem por desviar o tópico.

Gostaria de uma breve explanação dos colegas sobre os números imaginários, ou deveria se chamar inimagináveis?

O grupo dos números imaginários não deveria se chamar números inimaginários?
A não ser que você consiga imaginar um numero n tal que n² = -1.
(Não, eu não estou na 8ª série...   )

Apesar de estar no mestrado, também nunca consegui imaginar um "número" (ou seja, uma quantidade) que seja a raiz de menos um - e não creio ser possível, visto que esta quantidade simplesmente não existe (considerada uma definição ou mesmo um conceito primitivo razoável para o termo "número" ou "quantidade").
Creio ser este o motivo de os números reais serem assim chamados (o fato de eles representarem quantidades).
Confesso, ainda, que até hoje tenho um pé atrás quanto ao uso de números imaginários em vários contextos.
Tudo bem que um complexo equivalha a um par de reais, mas existem campos, inclusive teorias físicas (ou seja, que tratam de objetos do mundo real e observável) em que o conjunto que é utilizado como o campo escalar (pra definição dos axiomas de espaço vetorial, por exemplo) é C e não R. É verdade que, nesses casos, todos os observáveis físicos dependem apenas do módulo dos escalares ou vetores (ou funções semelhantes), de sorte que os observáveis físicos extraídos da teoria são sempre reais. Mas, ainda assim, não me sinto à vontade em manipular objetos que representam, de alguma forma, propriedades físicas de um sistema e que contenham uma raiz de menos um no meio.
Não quero dizer que estas teorias não sejam adequadas, mas apenas expressar meu desconforto devido ao fato de nunca me ter sido esclarecida totalmente a sutileza que permite o uso dos imaginários nesses contextos.

Mr. Enigma escreveu:Creio ser este o motivo de os números reais serem assim chamados (o fato de eles representarem quantidades).

Que quantidade você se refere? Suponho que seja em muitos casos, quantidades aproximadas, pois, que tipo de quantidade representaria um número irracional? Que tipo de quantidade representaria a raiz quadrada de dois?

Quanto aos números imaginários, também concordo em chamá-los inimagináveis... rs