Desvendando o Infinito

Por falar nisso, até mesmo os números reais são meios esquisitos. Eu não estou muito familiarizado com a definição formal de números reais, aquelas lá através de cortes e tudo o mais. Ai ai, a matemática é muito interessante... rs

Não, não. Me refiro a quantidades exatas, como o comprimento da minha lapiseira em centímetros, por exemplo.


Eu resolvo problemas usando complexos o tempo todo na física. Minha questão é apenas:
- por que raios eu posso usar essas coisas que "não existem"?
Vou exemplificar pra ficar mais claro.
EDO linear de segunda ordem homogênea sem o termo de primeira ordem:

x"(t) + w² = 0

onde x:R->R

Dizem as más línguas que a solução geral é uma combinação linear de n (no caso 2) soluções particulares. Jogando uma função de teste x(t) = exp(pt) você obtém duas soluções particulares: p=iw e p=-iw. Aí já aparecem imaginários. Mas como ainda é só o p, você tem a esperança de que o Euler resolva o seu problema e te dê um x(t) real.

Solução geral:
A exp (iwt) + B exp (-iwt) =
A [cos(wt) + i sin(wt)] + B [cos(wt) - i sin(wt)] =
(A+B) cos(wt) + i(A-B) sin(wt)

Daí você chama o A+B de C e o i(A-B) de D e tudo resolvido - é o que dizem.
Mas acontece que o tal D é imaginário!
E agora?

Voltando ao assunto do tópico...

Antigamente nós sabíamos que o universo é finito, por causa do paradoxo de Olbers. É um simples cálculo matemático, na verdade: nós admitimos a isotropia e a homogeneidade do universo, ou seja, que a matéria se distribui homogeneamente, sem lacunas perceptíveis, e que de qualquer ponto, em qualquer direção que olharmos, ele sempre vai parecer praticamente igual. Se o universo fosse infinito, haveria infinitas estrelas, e durante a noite seria tão claro quanto o dia, até mais, pois de todas as direções viriam raios de luz de alguma estrela.

Mas hoje a situação se complica, pois sabemos que o universo se expande aceleradamente, quer dizer que o espaço pode estar se expandindo, entre nós e as estrelas mais longínquas, com velocidade maior que a da luz, que postulamos como constante e o limite de velocidade que pode ser atingida por qualquer corpo físico.

Imagine um elástico e uma formiga que caminha sobre ele; se o elástico se alonga em maior proporção que a velocidade da formiga, ela nunca o atravessará de um ponto a outro!

Ou seja, o universo pode ser infinito e o resto dele estar além do nosso horizonte observável.

Então a questão da infinitude do universo é problemática atualmente. Eu pelo menos, tenho uma séria dificuldade em admitir um universo imensamente grande, pois haveria, necessariamente, outros de mim zanzando por aí, infinitas cópias na verdade.

Além do que, não sabemos se essa infinitude se estende para o "lower end" de sua escala de grandeza. Tipo, o elétron é uma partícula pontual, mas possui massa, então é possível que elétrons sejam buracos negros, que deem acesso a bolsões de espaço-tempo auto-contidos e desconexos. Se for o caso, dentro de cada elétron no nosso universo existe outro universo, miniaturizado, e o nosso próprio universo está dentro do elétron de um universo maior, como cascas de cebola...

Na verdade é um argumento contra um universo eterno, estático e infinito...

Mas outra curiosidade é que, mesmo sendo infinito, eterno e estático, se a distribuição de estrelas (mais especificamente matéria) no universo fosse fractal (ele não seria isotrópico nesse caso) o paradoxo de Olbers deixaria de valer.

Mas isso vale mesmo considerando a matéria como discreta?

Não sei, mas imagino que sim, porque nesses modelos cosmológicos as próprias galáxias são tratadas como partículas de poeira em imersão em um fluido.

Ah tá, você tá falando em relação a distribuição fractal de matéria, né?

Então, não seria uma distribuição fractal no sentido estrito do termo, porque fractais possuem infinita complexidade de detalhamento, daí entendo a sua pergunta sobre a matéria ser discreta, ou seja, que existam unidades fundamentais de distância e tempo.

O melhor seria dizer uma distribuição "pseudo fractal", porque não se estende por toda a escala de magnificação do fractal que serve de "protótipo", apenas por determinado intervalo limitado de sua escala de magnificação.

Acho que primeiro deveríamos determinar os sentidos atribuídos à ideia de infinito para que trabalhemos sobre os mesmos objetos.

Cabem, então, as perguntas:

Infinito, em matemática, é apenas associado à teoria dos conjuntos? Não há nada que seja em matemática infinito sem que seja também um conjunto?

Outra questão, que me intriga, diz respeito sobre as noções filosóficas de ato e potência. Aristóteles e Arquimedes negaram a existência do infinito em ato (quando se pensa em conjuntos). Assim, o conjunto dos números naturais N é infinito pois mantêm sempre a "potência", sempre a possibilidade de acrescentarmos mais elementos. Não haveria um conjunto de elementos infinitos em ato, ou seja, já "realizado". Tenho a impressão de que esta ideia de impossibilidade de infinito em ato está presente na matemática, porém um devaneio que eu tive sobre a divisão de infinito por infinito ser igual a 1 me fez lembrar a questão. Se tratássemos o infinito em ato, esse deveria ser o resultado, creio. Há discussões em matemática sobre ato e potência referente ao infinito ou Arquimedes selou a questão há 300 a.C.?


Também relações de proporção entre conjuntos infinitos são muito interessantes. Conheço por alto (só pelos resultados, não pelas provas, ou métodos envolvidos) questões de Teoria dos Números trazidas por Cantor. Cardinalidade, "hierarquia" de infinitos "maiores" quando não há correspondência biunívoca possível. Galileu abandonou o desenvolvimento de ideias semelhantes, ao que parece, quando percebeu paradoxos como o de que a parte é igual ao todo. Gostaria de encorajá-los para que justificar a igualdade entre a parte e o todo mesmo que a justificativa não seja exclusivamente matemática.

Gostaria também de introduzir outra aplicação da noção de infinito e descobrir se assim é tratado em matemática.

Quando a geometria postula o ponto (aquilo que não tem partes) penso que se trata também de uma noção de infinito. O infinitamente pequeno. Neste caso, tenho a impressão de que foi usada uma ideia que compreende todo o infinito (o ínfimo ínfinito), trata-se, então, de uma cosideração do infinito em ato, já não em potência. E é justamente esse tipo de consideração que parece trazer paradoxos insuperáveis.

Se o ponto não tem partes, não pode ser medido; se o fosse, poderíamos considerar sua medida como "a" e, daí vem a existência de a/2.

Porém, considerando dois pontos adjacentes, também não poderíamos medi-los, pois a medida seria o dobro da medida de cada ponto. Assim, seguiríamos com 3 pontos... ao infinito.

Ocorre que, se admitimos que infinitos pontos são também imensuráveis, para que não cheguemos à medida de 1 ponto, e se infinitos pontos coincidem com todo o espaço; então, todo o espaço é também imensurável.

Conclusão: o ponto, sendo o átomo geométrico, parece introduzir em geometria uma ideia do infinito em ato (que seria absurdo) e, por isso, introduz como elemento da medida do expaço (da extensão) um elemento que é a mais forte antítese da extensão.

A conclusão do post anterior pode, imagino, trazer esclarecimento sobre a maneira como o ponto deve ser conceitualmente tratado em geometria.

Parece-me que, da mesma forma como se trata o infinito (não como algo existente, mas como uma contínua possibilidade de algo maior) deve ser tratado o ponto. O ponto seria a representação de uma contínua possibilidade de algo menor. Tenho a impressão de que a forma gráfica que utilizamos "." nos dá a falsa noção de que estamos lidando com o ponto em ato, quando deveríamos pensar no ponto de maneira semelhante ao infinito. Nem um nem outro é por nós abarcado.

Terry Silver escreveu:Infinito, em matemática, é apenas associado à teoria dos conjuntos? Não há nada que seja em matemática infinito sem que seja também um conjunto?

O modo padrão de se fundamentar a Matemática (desde o último século) é usando uma teoria de conjuntos (Zermelo-Fraenkel é a mais comum) e levando em conta essa fundamentação tudo é conjunto em Matemática. Se você optar por fundamentar algum pedaço da Matemática sem teoria de conjuntos (digamos, uma geometria axiomática que não fale de conjuntos --- em particular, não trate retas como conjuntos de pontos) então você poderá ter alguma noção de "coisa infinita" onde essa coisa não é um conjunto.

Acho importante também ter em mente que o infinito aparece de pelo menos duas formas em Matemática: o "infinito como cardinal", i.e., o infinito como número de elementos de um conjunto e o "infinito em extensão" (comprimento infinito, área infinita, etc). Note, por exemplo, que o intervalo [0,1] de reta real é um conjunto com infinitos elementos, mas seu comprimento é finito (igual a 1).

Terry Silver escreveu:Há discussões em matemática sobre ato e potência referente ao infinito ou Arquimedes selou a questão há 300 a.C.?

Matemáticos não discutem esses assuntos, normalmente (entre Filósofos, evidentemente, isso é um assunto).

Mas, posso te dizer que, na Matemática dos dias de hoje (ao menos desde Cantor) o infinito é rotineiramente tratado como infinito atual. Um matemático pensa num conjunto infinito X não como algo que pode ser estendido indefinidamente, mas como uma totalidade infinita acabada (ou seja, o jeito que se trata hoje o infinito é bem diferente do que os gregos antigos faziam).

Sobre essa tal de igualdade da parte e do todo, isso é um paradoxo, podemos exemplificar isso com aquele velho paradoxo do conjunto de todos os conjuntos, como esse conjunto é um conjunto, deve pertencer a si mesmo, logo uma parte é igual ao todo. Não podemos justificar essa igualdade, já que ela não pode ocorrer, assim fazemos uma teoria onde ela não pode acontecer, na axiomática de ZF temos o axioma da regularidade que diz que dado um conjunto A não vazio existe um conjunto B em A tal que A e B são disjuntos, isso implica na não existência de um conjunto que tem ele mesmo, assim acabamos com esse paradoxo. Desta forma, no meu exemplo, se definirmos uma coisa que contém de todos os conjuntos, essa coisa não é um conjunto, é outra coisa (que definimos como classe).

Matemática é infinita e portando a tudo contém!
A matemática contém os números e muito mais... Os números são infinitos, logo a matemática é infinita...
Ser infinito implica que não existem limitações ou fronteiras.
O universo existe, e se houvesse uma fronteira entre o universo e a matemática, a matemática não seria infinita, pois isso implicaria em uma limitação.
Logo, o universo, a realidade, é uma estrutura matemática, assim como um triângulo ou uma matriz, só que nesse caso de complexidade tendendo ao infinito? Depende, posso mostrar uma outra estrutura matemática infinitamente complexa. Vocês deveriam se perguntar porque os números são infinitos, mas não parecem ser complicados à primeira vista...
Sim, os fractais são figuras tão complexas que parece que podemos mergulhar dentro delas e nos perder para sempre.

Marley escreveu:Sobre essa tal de igualdade da parte e do todo, isso é um paradoxo, podemos exemplificar isso com aquele velho paradoxo do conjunto de todos os conjuntos, como esse conjunto é um conjunto, deve pertencer a si mesmo, logo uma parte é igual ao todo. Não podemos justificar essa igualdade, já que ela não pode ocorrer, assim fazemos uma teoria onde ela não pode acontecer, na axiomática de ZF temos o axioma da regularidade que diz que dado um conjunto A não vazio existe um conjunto B em A tal que A e B são disjuntos, isso implica na não existência de um conjunto que tem ele mesmo, assim acabamos com esse paradoxo. Desta forma, no meu exemplo, se definirmos uma coisa que contém de todos os conjuntos, essa coisa não é um conjunto, é outra coisa (que definimos como classe).

Não vejo a coisa desse modo. Fractais são conjuntos que contém a si mesmos, como por exemplo o conjunto de Mandelbrot, que contém uma infinidade de cópias de si mesmo, em diferentes magnificações..

Se pudermos fundamentar toda a matemática sobre o conceito primitivo de padrão fractal, em vez de conjunto, o padrão fractal que contém todos os padrões fractais, também pode conter uma cópia de si mesmo, quantas puderem ser imaginadas, assim como todas as suas recombinações matematicamente consistentes, sem nos importarmos com aparentes contradições.

Terry Silver escreveu:Tenho a impressão de que esta ideia de impossibilidade de infinito em ato está presente na matemática, porém um devaneio que eu tive sobre a divisão de infinito por infinito ser igual a 1 me fez lembrar a questão. Se tratássemos o infinito em ato, esse deveria ser o resultado, creio.

Não há nenhum resultado em Matemática que diga algo como "infinito dividido por infinito é igual a 1" (se esse "infinito" for um infinito cardinal, então essa divisão nem faz sentido; se for a noção de infinito que aparece no conceito de limite, então é falso que "infinito dividido por infinito" é igual a 1, no sentido de que o limite de um quociente de expressões que tendem a infinito pode não ser 1). Não vejo nenhuma relação entre essa questão do "infinito dividido por infinito" e a questão da distinção entre infinito atual e potencial.

Terry Silver escreveu:Galileu abandonou o desenvolvimento de ideias semelhantes, ao que parece, quando percebeu paradoxos como o de que a parte é igual ao todo. Gostaria de encorajá-los para que justificar a igualdade entre a parte e o todo mesmo que a justificativa não seja exclusivamente matemática.

Falando "a parte é igual ao todo" parece que temos um paradoxo, mas o correto é dizer "a parte é tão numerosa quanto o todo" (ou "a parte tem tantos elementos quanto o todo"). Colocando de forma mais precisa, isso significa que podemos estabelecer uma correspondência biunívoca entre o todo e uma parte. Não há nenhum paradoxo aí, trata-se apenas de algo que causa certa surpresa quando aprendemos pela primeira vez.

Por exemplo, podemos colocar os números naturais em correspondência biunívoca com os números naturais pares, através da regra x --> 2x:

0 0
1 2
2 4
3 6
4 8
5 10
6 12
...

Terry Silver escreveu:Quando a geometria postula o ponto (aquilo que não tem partes) penso que se trata também de uma noção de infinito. O infinitamente pequeno. Neste caso, tenho a impressão de que foi usada uma ideia que compreende todo o infinito (o ínfimo ínfinito), trata-se, então, de uma cosideração do infinito em ato, já não em potência. E é justamente esse tipo de consideração que parece trazer paradoxos insuperáveis.

O infinito atual, até onde se sabe, não produz paradoxos.

Até onde sei, mesmo os gregos antigos, que tratavam o infinito apenas como potência, não tinham problemas com o ponto. A ideia de ponto deve ser distinguida da ideia de "segmento infinitamente pequeno".

Terry Silver escreveu:Se o ponto não tem partes, não pode ser medido; se o fosse, poderíamos considerar sua medida como "a" e, daí vem a existência de a/2.

Porém, considerando dois pontos adjacentes, também não poderíamos medi-los, pois a medida seria o dobro da medida de cada ponto. Assim, seguiríamos com 3 pontos... ao infinito.

Ocorre que, se admitimos que infinitos pontos são também imensuráveis, para que não cheguemos à medida de 1 ponto, e se infinitos pontos coincidem com todo o espaço; então, todo o espaço é também imensurável.

O jeito que lidamos com esse assunto na Matemática dos dias de hoje (não sei exatamente como os gregos antigos pensavam nesse assunto; suspeito que eles simplesmente não usariam o conceito de comprimento para pontos, mas apenas para segmentos de reta e que segmentos de reta não eram pensados como conjuntos de pontos) é o seguinte: o comprimento (formalizado na noção de medida de Lebesgue) de um ponto é zero. Não se fala em "dividir pontos", isso é um contra-senso. O espaço todo é a união dos seus pontos, mas não segue daí que o espaço todo tem comprimento zero, pois o comprimento da união de conjuntos não é sempre a soma dos comprimentos dos conjuntos que estão sendo unidos (essa propriedade só vale para a união de uma quantidade enumerável de conjuntos e o espaço tem uma quantidade infinita não-enumerável de pontos).

Marley escreveu:Sobre essa tal de igualdade da parte e do todo, isso é um paradoxo, podemos exemplificar isso com aquele velho paradoxo do conjunto de todos os conjuntos, como esse conjunto é um conjunto, deve pertencer a si mesmo, logo uma parte é igual ao todo. Não podemos justificar essa igualdade, já que ela não pode ocorrer, assim fazemos uma teoria onde ela não pode acontecer, na axiomática de ZF temos o axioma da regularidade que diz que dado um conjunto A não vazio existe um conjunto B em A tal que A e B são disjuntos, isso implica na não existência de um conjunto que tem ele mesmo, assim acabamos com esse paradoxo. Desta forma, no meu exemplo, se definirmos uma coisa que contém de todos os conjuntos, essa coisa não é um conjunto, é outra coisa (que definimos como classe).

Isso está ruim. Em primeiro lugar, vamos tomar o cuidado de distinguir parte (ou subconjunto) de um conjunto de elemento de um conjunto.

Um conjunto X é sempre igual a uma de suas partes, obviamente, já que X está contido em X. Um conjunto X não pode ser igual a uma de suas partes próprias (uma parte própria de X é uma parte de X que não é o próprio X), por definição; ele pode, no entanto, admitir uma bijeção com (ou "ter o mesmo número de elementos de") uma de suas partes próprias (e - assumindo axioma da escolha - X admite uma bijeção com uma de suas partes próprias se e somente se X for infinito).

Agora, um conjunto X pode ser elemento de si mesmo? (i.e., X pode pertencer a X?)

Assumindo o axioma da regularidade, então a resposta é não. Sem o axioma da regularidade, a proposição "existe X tal que X pertence a X" é indecidível, não pode ser nem provada nem disprovada.

Há uma confusão comum, espalhada por aí, de que o axioma da regularidade de alguma forma "nos protege" de paradoxos. Isso é nonsense. Um axioma não pode proteger uma teoria de paradoxos; se uma teoria é inconsistente, acrescentando um novo axioma, ela continua inconsistente.

Essa confusão em torno do axioma da regularidade provavelmente advém do fato que o famoso paradoxo de Russel fala em "conjuntos que não pertencem a si próprios" e o axioma da regularidade impede que um conjunto pertença a si próprio.

O que nos protege do paradoxo de Russel (e de outros paradoxos similares) é a ausência de um axioma que implique na existência de um conjunto de todos os conjuntos (ou do conjunto de todos os x que não pertencem a si próprios, que poderia ser extraído do conjunto universo).

Os comentários do Eugene Hector sobre fundamentar Matemática com fractais nem merecem ser comentados.

Terry Silver escreveu:Também relações de proporção entre conjuntos infinitos são muito interessantes. Conheço por alto (só pelos resultados, não pelas provas, ou métodos envolvidos) questões de Teoria dos Números trazidas por Cantor. Cardinalidade, "hierarquia" de infinitos "maiores" quando não há correspondência biunívoca possível. Galileu abandonou o desenvolvimento de ideias semelhantes, ao que parece, quando percebeu paradoxos como o de que a parte é igual ao todo. Gostaria de encorajá-los para que justificar a igualdade entre a parte e o todo mesmo que a justificativa não seja exclusivamente matemática.

Essa história sobre o Galileu é um bocado estranha... se ele teve ideias similares à de Cantor naquela época seria algo extraordinário. Tão extraordinário que eu não acredito.

Geômetra, tá aí uma coisa que eu não sabia. Como seria a demonstração de que isso é indecidível? Tem alguma referência que trate especificamente desse tipo de coisa?