Desvendando o Infinito

O teorema de Goodstein pode ser provado em teorias que não são bem-fundadas? Eu não sei se a prova faz um uso essencial do axioma da fundação ou apenas do fato de que ômega é um conjunto bem-ordenado.

Sobre o axioma da fundação evitar o paradoxo de Russell, realmente é algo que não faz muito sentido. Não apenas porque, ao acrescentar um axioma, seu poder de prova aumenta, ao invés de diminuir, mas porque as teorias que adotam axiomas que implicam a existência de conjuntos não-bem-fundados (e.g. axioma da antifundação ou axioma da universalidade) são consistentes se ZFC o for. E, nessas teorias, existem conjuntos C tais que C = {C}.

Hum, ajudaria se alguém pudesse me resumir em linhas gerais o resultado desse artigo:
The Mandelbrot set is universal
We show small Mandelbrot sets are dense in the bifurcation locus for any holomorphic family of rational maps.
http://www.math.harvard.edu/~ctm/expositions/home/text/talks/ams/dc00/html/home/text/papers/muniv/muniv.pdf

Mas já vi aqui que o conjunto de Mandelbrot não contém cópias de si mesmo, o que não impede que algum outro fractal possua essa característica:

Although mathematicians sometimes get carried away and say that the Mandelbrot Set contains perfect copies of itself, it doesn't.
The Mandelbrot Set has the unusual property (for a cross section of the full 4D shape) that all points on its boundary are connected within the plane. This means that if we placed the point of an infinitely-sharp pencil onto one part of the Mandelbrot boundary, and traced out an infinite length of line, we'd end up back at our starting position having traced out the entire set. The shape has no separated "islands" (unlike most of the standard Julia Set images).
So when we find a "mini-Mandelbrot" within the larger Mandelbrot Set, by definition, it can't be a perfect copy, because the condition of "connectedness" means that the smaller offspring must be connected to the parent by threads and tendrils that the original parent doesn't have. Similarly, although some people have claimed to have found things that look like Julia Set islands floating within the Mandelbrot Set, they must have internal interconnections that don't necessarily exist in the corresponding "standard" Julia Set image, and must have external connections that definitely won't exist in the original.
So, although the Mandelbrot Set can be considered as a "map" of how certain aspects of the full Julia Set change with location across two of its four dimensions, technically, the Mandelbrot Set is a subset of the Julia Set, rather than the other way around.
http://www.relativitybook.com/CoolStuff/julia_set_4d.html

Geômetra escreveu:

Terry Silver escreveu:Também relações de proporção entre conjuntos infinitos são muito interessantes. Conheço por alto (só pelos resultados, não pelas provas, ou métodos envolvidos) questões de Teoria dos Números trazidas por Cantor. Cardinalidade, "hierarquia" de infinitos "maiores" quando não há correspondência biunívoca possível. Galileu abandonou o desenvolvimento de ideias semelhantes, ao que parece, quando percebeu paradoxos como o de que a parte é igual ao todo. Gostaria de encorajá-los para que justificar a igualdade entre a parte e o todo mesmo que a justificativa não seja exclusivamente matemática.

Essa história sobre o Galileu é um bocado estranha... se ele teve ideias similares à de Cantor naquela época seria algo extraordinário. Tão extraordinário que eu não acredito.

Encontrei uma fonte para o que disse. Está em um texto sobre Cantor no livro "Fundamentos de Matemática Elementar" - vol. I de Iezzi (Vol. I da coleção de 11 livros)

A parte sobre Galileu é breve, então, cito:

(...)
"No século XVII Galileu comparou os conjuntos N* e P={2,4,6...}. E assinalou que, se a ideia de infinito atual fosse válida, haveria tantos números pares e ímpares reunidos quanto pares apenas (...) como se diz hoje, [correspondência] biunívoca. Este aparente paradoxo deve tê-lo levado deixar de lado tais cogitações." (...)

Sobre a parte ser igual ao todo, pensei em um "experimento", no mínimo, interessante.

Caso uma câmara filme um cenário e, neste cenário, seja colocado um aparelho de televisão que transmite o sinal captado da câmara; teremos um todo que coincide com o cenário total (conjunto) e uma parte sua muito especial. Esta parte, a televisão, exibirá o cenário todo e, para isso, logicamente também exibirá a si mesma, ou seja, exibirá uma televisão que exibe uma televisão. Esse televisão exibida, por ser sempre “a mesma”, também terá de exibir-se em uma parte cada vez menor. A sucessão é infinita.

No caso de a imagem correspondente ao cenário total for reduzida progressivamente para que exiba a televisão cada vez maior, deixando assim de exibir os outros elementos que ficam fora desta "parte especial", chegaremos a um instânte em que a parte, a televisão filmada que representa o que está sendo filmado, será equivalente ao cenário total, a tudo o que se está filmando. Pergunta-se, então, se o que terá acontecido com aquela representação infinita de si mesmo existente anteriormente em uma parte do cenário. As partes infinitas terão coincidência com o todo. Todos os pontos das infinitas representações estarão sobrepostos (Creio que nesta hipótese, a imagem seja a de uma singela tela de tv como se estivesse desligada!).

P.S.: espero poder contribuir com minhas ideias. Agradeço muito pelas respostas de todos vocês. Consegui muita coisa útil e a certeza de que tenho de me aprofundar em Matemática.

Marley escreveu:Geômetra, tá aí uma coisa que eu não sabia. Como seria a demonstração de que isso é indecidível? Tem alguma referência que trate especificamente desse tipo de coisa?

(Seja ZF- = ZF sem regularidade).

Bom, provar que "existe x tal que x pertence a x" não é um teorema de ZF- não é difícil... note que se "existe x tal que x pertence a x" fosse um teorema de ZF- então ZF seria inconsistente (e não é difícil provar que ZF é consistente assumindo que ZF- o seja; você pode construir uma interpretação de ZF em ZF- fazendo relativização dos quantificadores das fórmulas a V). Provar que "não existe x tal que x pertence a x" não é um teorema de ZF- já deve ser bem mais difícil... eu nunca vi a prova (talvez precise de Forcing; você precisa mostrar que existe um modelo de ZF- onde há um conjunto que pertence a si mesmo). Esse tipo de coisa pode ser encontrada em livros um pouco mais avançados de teoria de conjuntos (ou livros de lógica), mas não me lembro o nome de nenhum agora onde eu tenha certeza que isso está feito.

Terry Silver escreveu:

Geômetra escreveu:

Terry Silver escreveu:Também relações de proporção entre conjuntos infinitos são muito interessantes. Conheço por alto (só pelos resultados, não pelas provas, ou métodos envolvidos) questões de Teoria dos Números trazidas por Cantor. Cardinalidade, "hierarquia" de infinitos "maiores" quando não há correspondência biunívoca possível. Galileu abandonou o desenvolvimento de ideias semelhantes, ao que parece, quando percebeu paradoxos como o de que a parte é igual ao todo. Gostaria de encorajá-los para que justificar a igualdade entre a parte e o todo mesmo que a justificativa não seja exclusivamente matemática.

Essa história sobre o Galileu é um bocado estranha... se ele teve ideias similares à de Cantor naquela época seria algo extraordinário. Tão extraordinário que eu não acredito.

Encontrei uma fonte para o que disse. Está em um texto sobre Cantor no livro "Fundamentos de Matemática Elementar" - vol. I de Iezzi (Vol. I da coleção de 11 livros)

A parte sobre Galileu é breve, então, cito:

(...)
"No século XVII Galileu comparou os conjuntos N* e P={2,4,6...}. E assinalou que, se a ideia de infinito atual fosse válida, haveria tantos números pares e ímpares reunidos quanto pares apenas (...) como se diz hoje, [correspondência] biunívoca. Este aparente paradoxo deve tê-lo levado deixar de lado tais cogitações." (...)

Sim, dá para acreditar que Galileu percebeu uma correspondência biunívoca entre os números naturais e os números naturais pares (evidentemente, ele não deve ter formulado isso em termos de conjuntos). Eu não acreditaria que Galileu tenha descoberto o argumento para mostrar a existência de infinitos de tamanhos diferentes, por exemplo.

@Mr. Enigma , o axioma não é usado. O que você deve estar confundindo é que, para fazer uma "descida" finita a partir de omega, basta usar o fato de que ele é bem fundado. Pegue alguém em omega. Esse alguém é um número natural, e daí você desce até 0.

Não sei se ficou claro, mas essa é a ideia.

Pois é, o fato que os ordinais são bem fundados (se definirmos ordinais como conjuntos transitivos bem ordenados pela relação de pertinência) não depende do axioma da regularidade.

E, além do mais, qualquer proposição sobre os números naturais (i.e., proposição com quantificadores restritos a omega) que possa ser demonstrada em ZF (com axioma da regularidade) pode também ser demonstrada em ZF- (i.e., sem o axioma da regularidade). O motivo é bem simples: se uma fórmula f pode ser demonstrada em ZF, então a fórmula f' obtida de f pela relativização a V dos quantificadores pode ser demonstrada em ZF-; mas se os quantificadores de f já eram restritos a omega, é fácil ver que ZF- demonstra que f e f' são equivalentes.

(∞ x ∞) > ∞

Logo:

(∞ x ∞) diferente de ∞


Porque não?

(∞ x ∞) = ∞²

O fato é que são infinitos diferentes, alguns maiores que outros, conforme adição ou multiplicação dos infinitos entre si.


Discordo que (∞ x ∞) seja = ∞

Infinito não é número, é apenas uma representação. Portanto várias operações com números usuais não se aplicam ao símbolo infinito.

A maioria dos matemáticos sabem disso e sabem de todos os problemas que ocorrem quando começa a definir operações com infinitos.

Pode ser engraçado ficar brincando com os infinitos, mas será apenas uma conversa nonsense.

Se há problemas para definir equações de infinitos algum sentido pode ter a conversa. Afinal, paradigmas não são necessariamente nonsense.

A matemática tradicional afirma que (∞ x ∞) = ∞

Monalisa,

Qual é maior?

111.....
ou
222....

Eu diria que o 222...


Se analisarmos os dois números multiplicados por uma variável fixa.

Por exemplo: velocidade ou distância ou tempo...

Os dois números serão diferentes.

Mas Monalisa... Os matemáticos também concordam com você. Existe uma ordem de cardinalidade entre "os infinitos", digamos...

Você pode pensar nos números reais, por exemplo... Há fortes motivos para acreditarmos que seja um conjunto infinito, uma vez que sempre se pode pensar em um número maior, dado um número limite. Este conjunto tem uma série de sub-conjuntos também infinitos: inteiros e racionais, tanto positivos quanto negativos, por exemplo...

Dá uma olhada nos números transfinitos, acho que pode te interessar:

https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_transfinito

Vamos lá...

2 > 1
11 > 2
222 > 111
1111 > 222
...
...
111... ? 222...

Melhorando um pouco...

2 > 1
2 < 11
22 > 11
22 < 111
222 > 111
222 < 1111
...
...
...
222... ? 111...

222... x 222... > 111....

Ao menos como eu entendo...

Depende da definição dos três pontinhos.

se 222... = 2 x 10⁰ + 2 x 10¹ + 2 x 10² + 2 x 10³ + (e assim por diante)

é uma progressão geométrica com razão q = 10. A soma dos n primeiros elementos é igual a 2(10ⁿ - 1)/9. Agora, fazendo n tender ao infinito, temos que, como esperado,

222... = infinito (ou seja, não é um número real)

O mesmo ocorre com 111...

111... = 1 x 10⁰ + 1 x 10¹ + 1 x 10² + 1 x 10³ + (e assim por diante)

a soma dos n primeiros termos é (10ⁿ - 1)/9. E o limite, quando n cresce indefinidamente, diverge. Ou seja,

111... também é igual a infinito (ou seja, não é um número real)


Infinito é infinito, um símbolo. Porém existem noções de grandezas de conjuntos, a cardinalidade.

Um conjunto A pode ter infinitos elementos a mais que o conjunto B e mesmo assim terem a mesma cardinalidade. Exemplo: O conjunto dos naturais e o conjunto dos racionais. Para que A e B tenham a mesma cardinalidade, basta que exista uma função bijetora que leve os elementos de A em B.

Na análise da reta real, existe a reta real denotada por R e a reta estendida denotada por R U {-∞,∞} (le-se R unido com o conjunto {- infinito, - infinito})

Infinito é apenas um símbolo para denotar que o valor em questão divergiu, ou seja, não pertence a reta real.

Ainda acho que vale a pena mencionar que a convergência/divergência da série 222... provavelmente depende da métrica utilizada.

De fato, se n é um inteiro finito (pode ser tão grande quanto se queira, apenas, não pode ser infinito).

222... converge se n for a ordem do dígito mais significativo (o primeiro "2" da esquerda).

Assim,

222... = 2*(10ⁿ) + 2*[10^(n-1)] + 2*[10^(n-2)] + ...+ 2*[10^(n-n)] + 2*[10^(-1)] +

+2*[10^(-2)] + 2*[10^(-3)] + ...


Divergentes, mesmo, seriam:

[...222] não existe o dígito de mais alta ordem;

[...222...] não existem os dígitos de maior e de menor ordem.

Matematicamente minhas afirmações são erradas, mas entendo que podemos utilizar o infinito para outras definições, o que poderiam validar minha tentativa de expor uma nova equação de infinitos.

O infinito não se trata de um número, pode apenas ser simbolizado, podendo, pois, ser numérico ou geométrico.