Desvendando o Infinito

Ressaltando.... Georg Cantor acreditava que Deus poderia ser explicado ou pelo menos melhor entendido pela infinitude dos números, uma vez que nós como humanos somos incapazes de entender a infinitude e a sabedoria extrema de Deus.
Quero dizer que Deus poderia sim ser entendido com uma mente aberta capaz de analisar o infinito.

Monalisa, procure por um documentário chamado ''Conhecimento perigoso'' que fala de Cantor. Deve ter no youtube... vale muito a pena assistir.

Existem inúmeras tentativas de encontrar provas lógicas para a crença em divindades, isso é um sinal de que as pessoas que acreditam em deus(es) não são completamente idiotas, descartando displicentemente o raciocínio que nos distingue dos animais e voltando-se somente à intuição. Elas não fazem isso sem nenhum motivo aparente, mas porque sentem que isso é uma vantagem evolucionária e tentam até mesmo sustentar essas crenças com demonstrações formais, do mesmo modo que os matemáticos demonstram teoremas.
No entanto, crer que a tal divindade possui características arbitrárias é definitivamente indefensável no contexto da diversidade cultural de nossa sociedade globalizada. Simplesmente por que este é um assunto tão fundamental que, para aqueles que acreditam em divindades, a mera alegação de que possa existir um deus superior ao seu pode resultar em motivação suficiente para uma briga.
Então, haveria um deus, uma noção de divindade, com a qual todos possam concordar?
Volto à minha analogia em relação aos matemáticos.
Pode parecer que a prática dos matemáticos está no polo oposto de um espectro onde a religião ocupa o outro polo. Enquanto a prática religiosa está fundamentada na fé, a prática matemática se fundamenta na razão, na lógica.
Mas nem tudo na Matemática pode ser provado, existem algumas asserções que não podem ser provadas, chamamo-as de axiomas, porque são elas próprias a fonte de todas as demonstrações, que sempre retornam à estas para serem validadas.
De certo modo, também há um forte componente de fé na Matemática. Devemos aceitar sem provas, por fé, sentenças que, para os religiosos, seriam encarados como mandamentos: ''existe um conjunto vazio'' ou ''todos os ângulos retos são iguais.''

Isso pode não parecer em nada com o os dogmas das religiões, no entanto, são coisas que não podemos demonstrar... E pior, a própria matemática nos prova que é infinita a quantidade dessas sentenças matemáticas que devemos aceitar por força da fé, ou seja, embasados em nada além da nossa intuição.
Só que a Matemática, diferentemente das religiões, funciona concretamente, como evidencia o domínio tecnológico que hoje possuímos sobre os elementos da realidade em decorrência de nossa competência matemática.
Digo: que a Matemática seja a nossa religião, dediquem-se a ela e todos estaremos bem, pois ela nos fornece o instrumental necessário para desenvolver nossa intuição e reconhecer nela a verdade, onde e como esta se manifestar...

Mr. Enigma escreveu:Georg Cantor. Matemático e lógico alemão nascido na Rússia. Desenvolveu a Teoria dos Conjuntos e o conceito de números transfinitos. Foi professor da Universidade de Halle, a partir de 1872, quando apresentou seu teorema sobre a diferenciação de cardinalidade entre os números reais e racionais. Ao tentar provar a hipótese do contínuo, foi duramente atacado por não chegar a uma conclusão consistente, o que agravou seu estado de saúde mental. Uma forte depressão o abateu obrigando seu internamento num manicômio, onde terminou seus dias, antes de ser reconhecido como pensador genial. Seus textos foram publicados, principalmente, no Jahresberich der deustschen Mathenatiker–Vereiningung (Anais da Associação Matemática Alemã, 1892).

Na verdade...

Georg Cantor teve ao longo de sua vida sua saúde mental muito debilitada, que se agravou depois que não conseguiu provar determinadas coisas que na verdade ele mesmo sabia e não acreditava.

Falando em Cantor, e a Hipótese do contínuo?

Vocês acham que a hipótese do contínuo é verdadeira?

Georg Cantor (1845-1943) mostrou que a cardinalidade dos racionais designada por א (aleph) e a dos irracionais era a mesma, contável e infinita.

Engano seu...

A cardinalidade dos irracionais é maior que a dos racionais... é a mesma dos reais.

Dúvida: a hipótese do continuo foi sugerida por Hilbert, correto???
Se não me engano não foi Cantor quem demonstrou, ou foi???

Foi sugerida por Hilbert como "primeiro problema" a ser resolvido no séc. XX uma prova da HC, dos 23 problemas apresentados por ele no congresso em Paris (1900). Cohen é citado por apresentar uma prova de independência em ZFC, porém isso levanta outras questões relevantes quanto a axiomática da teoria de conjuntos.

Atomic Boy escreveu:Georg Cantor (1845-1943) mostrou que a cardinalidade dos racionais designada por א (aleph) e a dos irracionais era a mesma, contável e infinita.

Mas isso não contraria a demonstração conhecida de que não é possível enumerar (ordenar) os números irracionais?

Já foi provado que é impossível provar a hipótese do contínuo com os axiomas que temos hoje.

A propósito, a definição mais aceita de cardinalidade para conjuntos finitos é a seguinte:

Dizemos que um conjunto A é finito se, e somente se, existe um natural k tal que [1..k] e A correspondem-se biunivocamente. Nesse caso, dizemos que k é a cardinalidade de A e escrevemos |A|=k.

Para conjuntos infinitos, tudo o que se faz é definir que a cardinalidade dos naturais é aleph0 e daí tudo é construído de acordo com bijeções. Por exemplo, a cardinalidade dos inteiros e a dos racionais também é aleph0, já que correspondem-se biunivocamente com os naturais. Por outro lado, a cardinalidade dos reais é 2^{aleph0}, já que os reais corresponde-se biunivocamente com o conjunto das partes dos naturais. E assim por diante.....

0,999999... = 1?

Transformado em fração, pela relação abaixo, 0,999... (a dízima) é considerado igual a 1 unidade.
x=0,999...
10x=9,999...
10x - x=9,999...- 0,999...
:. 9x=9 :. x=1!
A diferença entre ambos os números estaria em um 1 perdido no final do infinito. Contudo, falar em final do infinito é um paradoxo tamanho que é melhor dizer que não existe tal diferença entre ambos. Dizem os conhecedores mais a fundo que o número 0,999999... "tende a 1". Alguém que entenda de limite, poderia me explicar, ou mesmo os que não entendem, dizerem o que pensam sobre o assunto?

Limite é o seguinte:
se você pintasse metade de um quadrado, depois metade do que sobrasse, e assim por diante, você chegaria a pintá-lo por inteiro??

NÃO!!!

Ou seja: 1/2+1/4+1/8+1/16+...>1
Isso matematicamente...

0.99999.... pode ser representado assim (requer o básico das PG):
0,9+0,09+0,009+...

então:
a1=0,9
q=1/10

como 0<|q|<1, podemos definir um limite para a soma desta PG, para n termos (com n tendendo ao infinito)

Sn=a1/1-q
Sn=0,9/(9/10)
Sn=9/9
Sn=1

Esse é o limite da soma, você nunca vai chegar nele, mas vai chegar tão próximo que para maiores efeitos (cálculos por exemplo) você considera como "já chegado"... Entendeu o que significa "tender a "?

É simples.

0,999... = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + ....

O resultado desse somatório de infinitos termos é igual a 1.

Para provar isso formalmente usa-se limite, mas você pode “visualizar” que isso é verdade do seguinte modo:

Imagine uma formiga no começo de uma régua de 1 metro. Suponha que primeiro a formiga ande 9/10 dessa régua, isto é, que ande 90 cm. Suponha que depois ela ande mais 9/10 do caminho que falta pra chegar ao fim da régua. Isto é, como faltam 1/10 de um metro, ela anda 9/100 de um metro (que é igual a 9 cm). Agora falta apenas 1 cm pra ela chegar ao fim! Mas suponha que em seguida ela anda só mais 9/10 desse 1 cm que falta pra ela chegar até o final. Vai restar ainda bem menos pra ela chegar ao fim! Mas quando chega ao novo ponto, ela novamente anda só mais 9/10 do percurso restante, e assim infinitamente. Percebe-se, assim, que a formiga dará infinitos passos, sempre dividindo o resto da régua em 9/10. A soma de todos os infinitos passos da formiga é idêntica ao somatório acima, e "no infinito" (isto é, somando todos as partes) a formiga completa 1 metro!

Uma anedota:

A questão ”0,999.. = 1? Por que?” Caiu na prova de matemática do vestibular Na época eu tinha 17 anos, e lia muito Hume, então fugi do gabarito argumentando, em resumo, que a ideia de “infinito” não tinha correspondente no mundo empírico, sendo apenas uma abstração, e que por isso 0,999... era igual a 1. Hoje, obviamente, não dou um centavo por essa explicação, mas na época recorri da questão e olha que curioso: Eles aceitaram o recurso e minha resposta insólita ficou fazendo parte do gabarito oficial da prova. hehehe

O fato é que na matemática somatórios infinitos são extremamente comuns, fazem parte do dia a dia. Nós idealizamos que um processo infinito foi terminado. Em teoria de conjuntos então nem se fala...

Uma curiosidade é que, para se alcançar um número transfinito (por exemplo um aleph), é pressuposto um processo infinito, um número infinito de passos a partir do zero. Mas a volta, a descida de volta até o zero, é sempre uma caminhada finita.

Os matemáticos que criticam esse tipo de coisa são os intuicionistas e os ultrafinitistas. Ser filósofo e defender o intuicionismo é moleza, o duro é fazer matemática intuicionista. Como disse um amigo meu, é preciso ser "muito macho" para fazer matemática seguindo os princípios estritos aceitos pelos intuicionistas.

A resposta é sim. Nós pressupomos que um processo infinito foi terminado. E fazemos contas bastante seguras baseados nisso. O infinito é um axioma da matemática.

Prova formal de que 0,999... = 1

Primeiramente, quero esclarecer que hoje não existe dúvida na matemática de que 0,999... é igual a 1.

Minha argumentação informal foi só pra dar uma intuição para o Atomic Boy de que a igualdade é verdadeira.

Porém, como ainda há pessoas com dúvidas pertinentes, farei uma prova formal, na esperança de esclarecer o assunto.

A prova se baseia na seguinte ideia intuitiva: Se 1 =\= 0,999..., então existe um número y = 0,???... entre 1 e 0,999...., isto é, 1 > 0,???.... > 0,999... Porém, se um único dígito de 0,???.. for diferente de 9, então 0,???... será menor que 0,999... Consequentemente, 0,???.... é igual a 0,999.. Assim, deduzimos que 0,999... > 0,999... o que é um absurdo! Logo, 1 = 0,999... (Por favor, se alguém quiser tecer críticas em relação a validade da minha demonstração, o faça em relação à prova formal abaixo, e não a este pequeno trecho, que não tem valor de prova, pois é meramente uma ilustração).

Existem várias formas diferentes (porém "equivalentes") de definir os números reais, como sequências de Cauchy e cortes de Dedekind. A definição mais fácil de entender é por expansão decimal, e é essa definição que usarei aqui.

Um número real é caracterizado por um inteiro e uma sequência infinita de dígitos. Isto é, ele é determinado por um par, onde i é um inteiro e F: N --> {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} é uma função definida dos naturais para o conjunto dos dígitos.

Por exemplo: o número real “pi’’ é igual 3,14159265... Assim, ele é caracterizado pelo inteiro 3 e pela seqüência infinita 14159265... Ou seja, é determinado pelo par, onde i = 3 e a função F: N --> {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} é tal que F(0) = 1, F(1) = 4, F(2) = 1, F(3) = 5 etc. Outro exemplo: a raiz de 2 é igual a 1,41421356..., Assim, ela é determinada pelo par, onde i = 1 e F é tal que F(0) = 4, F(1) = 1, F(2) = 4, F(3) = 2 etc.

Prova formal de que 0,999... = 1 (continuação)

Tendo em mente essa definição, para provar que 1 = 0,999..., iremos supor que 1 =\= 0,999..., e dessa suposição deduzir uma contradição, a saber, que 0,999... > 0,999...

Se 1 =\= 0,999... então 1 > 0,999... , ou seja, existe um x > 0 tal que 1 – 0,999... = x. Assim, o número 1 – x/2 é menor do que 1 e maior do que 0,999.., isto é, 1 > 1 – x/2 > 0,999...

Ora, o número 0,999... é caracterizado pelo inteiro 0 e pela função H, onde H(n) = 9, para todo natural n. Mas qual seria o valor de 1 – x/2? Ora, ele é determinado por um par, e sabemos que i = 0, mas como seria a função F? Vamos provar, por indução, que para todo natural n, F(n) = 9, isto é, provar que, paradoxalmente, 1 – x/2 = 0,999...

Seja n um natural qualquer. Suponha que para todo m < n, F(m) = 9. Suponha, por absurdo, que F(n) < 9; por exemplo, suponha, sem perdas de generalidade, que F(n) = 8. Se n= 0, então 1 – x/2 = 0,8????..., de modo que 1 – x/2 < 0,9 < 0,999..., o que contraria a hipótese de que 1 – x/2 > 0,999..., logo, F(n) = 9, para n = 0. Suponha, agora, que n > 0. Então 1 – x/2 = 0,9....98??? ..., assim, 1 –x/2 < 0,9...99 < 0,999..., o que novamente contraria a hipótese de que 1 –x/2 > 0,999... Assim, F(n) = 9, para n > 0. Portanto, pelo teorema da indução, tem-se que para todo natural n, F(n) = 9. Ou seja: da hipótese de que 1 =\= 0,999..., deduzimos que 1 – x/2 = 0,999... e 1 – x/2 > 0,999.., e assim, deduzimos que 0,999... > 0,999... , isto é, chegamos a um absurdo! Conclusão: 1 = 0,999...

Na matemática (clássica) se pressupõe que o infinito é uma coisa acabada (terminada, finalizada...). Nós vamos contando 0, 1, 2,3... quando chegamos ao "fim" desse processo infinito, dizemos que a série dos números naturais acabou, e chamamos esse número alcançado de ômega. Depois continuamos, ômega+1, ômega+2... até terminarmos mais um processo infinito e então temos ômega+ômega. E assim por diante. O curioso é que o processo de "volta", por exemplo, de ômega+ômega até 0, é uma descida finita! O axioma da fundação garante isso.

O seu post sobre redução ao absurdo foi muito bem feito. Mas devemos observar que não é verdade que os intuicionistas não aceitam provas por redução ao absurdo. Eles só não aceitam o passo 4 do seu esquema. Ou seja, se ~P leva a uma contradição, eles aceitam ~~P, mas isso não implica P (a não ser em certos casos particulares). Se você acrescentar o axioma ~~P -> P à lógica intuicionista, você obtém exatamente a lógica clássica...

Não temos uma contradição matemática aqui. Podemos ter uma contradição linguística, talvez, na medida em que dizemos que chegamos ao "fim" dos números naturais: alcançamos um objeto manipulável que chamamos de ômega, que é o primeiro ordinal transfinito. Depois continuamos a somar, chegamos a ordinais maiores etc... A teoria dos conjuntos se faz assim, a partir do infinito acabado ou infinito atual. O fato é que fazemos contas exatas assim.

Há os que rejeitam inteiramente a teoria de conjuntos, não aceitam nem mesmo o infinito potencial. São os ultrafinitistas. Esses são mais machos dos que os intuicionistas.